미분가능성과 연속성

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See also: Derivative § Continuity_and_differentiability

함수의 극한에서, 함수 \(y=f(x)\) 위의 점 \(x=a\)에서 극한값은 그 점에서 왼쪽 극한과 오른쪽 극한이 존재하고, 두 값이 서로 같을 때, 그 점에서 극한값이 존재한다고 말합니다.

함수의 연속에서, 함수 \(y=f(x)\) 위의 점 \(x=a\)에서 함숫값이 존재하고, 극한값이 존재하고, 두 값이 서로 같을 때, 그 점에서 연속이라고 합니다.

이때, 그 점에서 극한값이 존재하더라도, 불연속인 경우는 있을지라도, 반대로, 그 점에서 연속이면, 그 점에서 항상 극한값이 존재함을 알 수 있습니다. 물론, 그 점에서 극한값이 존재하지 않으면, 무조건 불연속입니다. 즉, 극한값의 존재보다는 그 점에서 연속이 보다 좁은 의미를 가집니다.

한편, 함수 \(y=f(x)\) 위의 점 \(x=a\)에서 도함수가 존재하면, 즉, 왼쪽 도함수와 오른쪽 도함수가 존재하고, 두 값이 같으면, 그 점에서 미분가능이라고 합니다.

도함수는 극한값을 구하는 것이지만, 단순히 극한값만을 물어보는 것이 아니라, 기하학적으로 접선의 기울기를 의미해야 합니다. 따라서, 극한값의 존재보다는 미분가능이 보다 좁은 의미입니다.

게다가, 함수 \(y=f(x)\) 위의 점 \(x=a\)에서 미분가능이면

\(\quad\)\(\displaystyle f'(a)=\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}\)

가 존재합니다.

이때, 미분가능과 연속을 비교하기 위해, 다음 극한값을 계산해 보면,

\(\quad\)\(\begin{align}
\lim_{x \to a} \left\{f(x)-f(a)\right\} & = \lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}\cdot (x-a) \\
& = \lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}\cdot \lim_{x \to a} (x-a) \\
& = f'(a) \cdot 0 \\
& = 0 \\
\end{align}\)

따라서, \(\displaystyle \lim_{x \to a}f(x)=f(a)\)이므로, 함수 \(y=f(x)\)는 \(x=a\)에서 연속입니다. 즉, 어떤 점에서 미분가능하면, 그 점에서 연속입니다.

반면에, 함수 \(y=f(x)\)의 \(x=a\)에서 연속이면, 그 점에서 미분가능할까요? 답은 ''그렇지 않다''입니다.

예를 들어, 함수 \(y=|x|\)에서 \(x=0\)에서는 연속입니다.

한편, 그 점에서 도함수를 구하기 위해,

먼저, 왼쪽 도함수는

\(\quad\)\(\displaystyle \lim_{x \to 0-} \frac{|x|-|0|}{x-0}=\frac{-x}{x}=-1\)

여기서 절댓값 안의 값은 음수이므로, 절댓값을 제거할 때, 양수를 만들기 위해, 그의 부호를 바꾸어서 제거해야 합니다.

반면에, 오른쪽 도함수는

\(\quad\)\(\displaystyle \lim_{x \to 0+} \frac{|x|-|0|}{x-0}=\frac{x}{x}=1\)

여기서 절댓값 안의 값은 양수이므로, 절댓값을 제거할 때, 그냥 제거합니다.

따라서, 왼쪽 도함수와 오른쪽 도함수가 서로 다르기 때문에, 함수 \(y=|x|\)의 \(x=0\)에서는 미분가능이 아닙니다. 즉, 연속의 개념보다는 미분가능의 개념이 보다 좁은 의미입니다. 

정리하자면, 그의 의미는 점점 좁아지는데, 그 점에서

• 극한값이 존재하는가?
• 연속인가?
• 미분가능한가?

이런 의미에서 연속이 아니면, 그 점에서 미분불가능인 것은 당연하고, 연속이더라도, 위의 예제처럼, 꺾어진 점에서 미분가능하지 않습니다. 보통, 주어진 구간에서 매끄러운 함수(smooth function)는 주어진 구간 전체에 걸쳐서 미분가능합니다.

예를 들어, 다항함수, 지수함수, 사인함수, 코사인함수는 실수 전체의 구간에서 미분가능합니다.

유리함수와 로그함수는 정의역으로 주어지는 전체 구간에서 미분가능합니다.

무리함수는 정의역으로 주어지는 구간 중에 끝점을 제외하고 미분가능합니다. 무리함수의 끝점에서 왼쪽 도함수 또는 오른쪽 도함수 중에 하나를 구할 수 없기 때문에, 그 점에서 미분불가능으로 분류하기도 하지만, 끝점에서 한쪽의 도함수만 존재하면, 미분가능으로 분류하기도 합니다. 한-쪽 미분가능성을 참조하십시오.

응용예제

응용예제1

함수 \(f(x)\)는 최고차항의 계수가 1인 삼차함수이고, 함수 \(g(x)\)는 일차함수이다. 함수 \(h(x)\)를

\(\quad\)\(h(x)=\left\{\begin{align}
& \left|f(x)-g(x)\right| & (x<1) \\
& f(x)+g(x) & (x \ge 1) \\
\end{align}\right.\)

이라 하자. 함수 \(h(x)\)가 실수 전체의 집합에서 미분가능하고, \(h(0)=0\), \(h(2)=5\)일 때, \(h(4)\)의 값을 구하시오. [4점] [2021학년도 수능 나형 30번]

응용예제2

실수 \(t\)에 대하여 곡선 \(y=e^x\) 위의 점 \(\left(t, e^t\right)\)에서의 접선의 방정식을 \(y=f(x)\)라 할 때, 함수 \(y=\left|f(x)+k-\ln x\right|\)가 양의 실수 전체의 집합에서 미분가능하도록 하는 실수 \(k\)의 최솟값을 \(g(t)\)라 하자. 두 실수 \(a,b\;(a<b)\)에 대하여 \(\int_a^b g(t)dt=m\)이라 할 때, 다음에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점] [2020학년도 수능 가형 21번]

\(\quad\)(ㄱ) \(m<0\)이 되도록 하는 두 실수 \(a,b\;(a<b)\)가 존재한다.

\(\quad\)(ㄴ) 실수 \(c\)에 대하여 \(g(c)=0\)이면 \(g(-c)=0\)이다.

\(\quad\)(ㄷ) \(a=\alpha,\;b=\beta\;(\alpha<\beta)\)일 때 \(m\)의 값이 최소이면 \(\displaystyle \frac{1+g'(\beta)}{1+g'(\alpha)} < -e^2\)이다.

응용예제3

함수

\(\quad\)\(f(x)=\left\{
\begin{align}
&-x & & (x\le 0) \\
&x-1 & & (0 < x \le 2) \\
&2x-3 & & (x>2) \\
\end{align}\right.
\)

와 상수가 아닌 다항식 \(p(x)\)에 대하여 다음에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점] [2020학년도 수능 나형 20번]

\(\quad\)ㄱ. 함수 \(p(x)f(x)\)가 실수 전체의 집합에서 연속이면 \(p(0)=0\)이다.

\(\quad\)ㄴ. 함수 \(p(x)f(x)\)가 실수 전체의 집합에서 미분가능하면 \(p(2)=0\)이다.

\(\quad\)ㄷ. 함수 \(p(x)\left\{f(x)\right\}^2\)가 실수 전체의 집합에서 미분가능하면 \(p(x)\)는 \(x^2(x-2)^2\)으로 나누어떨어진다.

응용예제4

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킬 때, \(f(-1)\)의 값은? [4점] [2019학년도 수능 가형 21번]

\(\quad\)(ㄱ) 모든 실수 \(x\)에 대하여 : \(2\left\{f(x)\right\}^2f'(x)=\left\{f(2x+1)\right\}^2f'(2x+1)\)이다.

\(\quad\)(ㄴ) \(f\left(-\frac{1}{8}\right)=1,\;f(6)=2\)

응용예제5

최고차항의 계수가 1인 삼차함수 \(f(x)\)에 대하여 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 \(g(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다.

\(\quad\)(ㄱ) 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x)g(x)=x(x+3)\)이다.

\(\quad\)(ㄴ) \(g(0)=1\)

\(f(1)\)이 자연수일 때, \(g(2)\)의 최솟값은? [4점] [2019학년도 수능 나형 21번]

응용예제6

두 실수 \(a\)와 \(k\)에 대하여 두 함수 \(f(x)\)와 \(g(x)\)는

\(\quad\)\(f(x)=\left\{
\begin{align}
& 0 & & (x \le a) \\
& (x-1)^2(2x+1) & & (x > a) \\
\end{align}\right.\),
\(\quad\)\(g(x)=\left\{
\begin{align}
& 0 & & (x \le k) \\
& 12(x-k) & & (x > k) \\
\end{align}\right.\)

이고, 다음 조건을 만족시킨다.

\(\quad\)(가) 함수 \(f(x)\)는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다.

\(\quad\)(나) 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x) \ge g(x)\)이다.

\(k\)의 최솟값이 \(\frac{q}{p}\)일 때, \(a+p+q\)의 값을 구하시오. (단, \(p\)와 \(q\)는 서로소인 자연수이다.) [4점] [2018학년도 수능 나형 29번]