함수의 그래프

원문 보기: https://dawoum.duckdns.org/wiki/함수의_그래프

See also: Asymptote and Curve sketching

미적분1의 함수의 극대와 극소에서, 삼차 또는 사차 함수의 그래프의 개형은 도함수의 근의 개수를 통해 그릴 수 있었습니다.

반면에 초월함수와 다항함수가 사칙연산에 의해 여러 개의 항을 가질 때에는 그래프의 개형을 도함수의 근의 개수를 통해 그릴 수 없기 때문에, 보다 일반적인 방법이 필요합니다.

그래프의 개형을 그리기 위해, 필요한 정보는 다음과 같은 것이 있습니다.

• 함수의 정의역과 치역
• 그래프의 대칭성과 주기, 짝수함수와 홀수함수
• 좌표축과의 교점 (\(x\)-절편, \(y\)-절편)
• 함수의 증가와 감소, 극대와 극소
• 함수의 오목과 볼록, 변곡점
• 점근선 \(\displaystyle \lim_{n \to -\infty} f(x),\;\lim_{n \to \infty} f(x)\)

먼저, 각 함수의 정의역과 치역은 기본 함수에 대해 다루었습니다. 대체로, 분모가 0이 될 수 없는 것, 로그의 밑수와 진수 조건, 무리함수의 조건 등이 정의역에서 고려할 내용이며, 치역은 복합된 함수에서 잘 구해지지 않을 수도 있으므로, 처음에는 크게 고려할 필요는 없습니다.

다음으로, 함수의 주요 특징을 참조해서, 함수의 대칭성과 주기를 알 수 있습니다.

다음으로, \(x=0\)과 \(y=0\)을 대입해서 절편을 구할 수 있는데, 계산이 쉽지 않을 때에는 굳이 계산할 필요는 없습니다.

다음으로, 도함수로부터 함수의 증가와 감소, 극대와 극소를 파악할 수 있습니다.

다음으로, 이계도함수로부터 함수의 오목과 볼록, 및 변곡점을 파악할 수 있으며, 계산이 쉽지 않을 때에는 굳이 계산할 필요는 없습니다.

다음으로, 분수함수의 분모가 0인 것, 로그의 진수가 0인 것, 등에서 점근선이 발생하고, 정의역이 증가함에 따라 함숫값의 변화, 감소함에 따라 함숫값의 변화를 고려해야 합니다.

예를 들어, 함수 \(\displaystyle f(x)=\frac{2x}{x^2+1}\)의 그래프는 개형은,

먼저, 분수함수이지만, \(x^2+1\ne 0\)이므로, 모든 실수의 집합이고, 치역은 당장은 확인하기 어렵습니다.

다음으로, 함수의 주요 특징에 소개한 것처럼, 홀수 함수, 즉, 원점 대칭이므로, 오직 양수에 대해서 생각해도 좋겠습니다.

다음으로, 홀수함수이므로, 원점을 통과하고, 다른 점은 축과 만나는 점은 없습니다.

다음으로, 도함수를 구하면,

\(\quad\)\(\displaystyle f'(x)=\frac{2(x^2+1)-2x\cdot 2x}{\left(x^2+1\right)^2}=0\)

이때, 분모는 0이 될 수 없고, 분자는 이차함수이고, 중근을 가지지 않으므로, \(x=-1,1\)에서 극대와 극소를 가집니다. 극대와 극소의 판정은 도함수로 할 필요 없는데, 왜냐하면, \(x>0\)에서 \(f(x)>0\)이므로 \(f(1)\)이 극댓값입니다.

다음으로, 이차 도함수는 계산이 쉽지 않으므로, 문제에서 질문이 없으면, 우선은 계산하지 않아도 좋습니다. 어쨌든, 양수 쪽에 극대, 음수 쪽에 극소가 있고, 원점 대칭이므로, 원점이 변곡점이 되는 것은 쉽게 알 수 있습니다.

다음으로, 분모가 0이 아니므로, 분모에 의한 점근선은 없지만, \(\displaystyle \lim_{x \to \infty} = \infty\)이므로, \(x\)-축이 점근선입니다.

손으로 계형을 그릴 때에는

• 원점에서 증가해서, 왜냐하면, \(f(1)=1\)이고, \(x=1\)에서 극대이기 때문입니다.
• 원점에서 위로 볼록인 모양으로 출발해서 \(f(1)\)에서 극대가 되도록 그립니다.
• \(x>1\)에서 한 개의 변곡점이 더 생기는데, 왜냐하면, \(x\)-축이 점근선이 되려면, 아래로 오목인 모양으로 접근해야 하기 때문입니다.
• \(x>1\)의 적당한 점까지 볼록을 그리고, 그다음부터 아래로 볼록하게 그려서 \(x\)-축에 점점 다가가도록 그립니다.
• 원점 대칭이므로, 나머지 부분을 완성합니다.

다른 예제로서, \(y=x \ln x\)를 그려보겠습니다.

먼저, 로그함수는 정의역에 제한이 있으므로, \(x>0\)에서 그래프가 그려집니다. 또한, \(x\rightarrow \infty\)일 때, \(y\rightarrow \infty\)인 것은 명확해 보입니다.

반면에, \(x\rightarrow 0+\)일 때, \(y\)의 값은 얼마일까요?

\(\quad\)\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0+} x \ln x\)

물론, 이 값은 0이지만, 쉽게 이해되지 않을 수 있는데, 왜냐하면, \(x\rightarrow +0\)일 때, \(\ln x \rightarrow -\infty\)이며, 마치 \(0\times \infty\)의 부정형으로 느껴질 수 있기 때문입니다.

한편, \(\displaystyle x=\frac{1}{t}\)로 치환하면, 위의 식은 아래와 같이 바뀔 수 있습니다.

\(\quad\)\(\displaystyle \lim_{t\rightarrow \infty} \frac{\ln \frac{1}{t}}{t}=\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{-\ln t} {t}=-0\)

이 식은 평가하기 쉬운데, 왜냐하면, \(t\)가 커짐에 따라, 상대적으로 \(\ln t\)의 값은 덜 증가하기 때문입니다. 반대로 \(e^t\)는 \(t\)가 커짐에 따라, 상대적으로 더 커짐을 알 수 있습니다. 그래프로 확인해도 좋습니다.

따라서, \(t\rightarrow \infty\)일 때, 분자의 양은 상대적으로 무시할 수 있는 경우입니다. 이전에 배운 것에서 아래의 수렴과 같은 이유입니다.

\(\quad\)\(\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^2}{2^n} = 0\)

다음으로, 극대/극소를 확인해 보면,

\(\quad\)\(f'(x)=\ln x+1\)

이것이 영이 되는 지점은 극소일 수밖에 없으며, 그것의 함숫값이 음수이므로, 그래프는 \((0,0)\)에서 밑으로 내려가야 하기 때문입니다.

게다가, 위의 \(x\rightarrow +0\)일 때, 극한값이 \(y\rightarrow -0\)이므로, 함숫값이 내려가면서 시작되고, \(x\rightarrow +\infty\)일 때,  \(y\rightarrow +\infty\)이기 때문에, 오른쪽으로 가면서 위로 올라가면서 끝나기 때문입니다.

함수의 최댓값과 최솟값

미적분1의 함수의 그래프와 최대·최소에서와 내용이 동일합니다.