부분적분법

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Main article: Integration by parts

치환적분법은 두 함수의 곱셈(또는 나눗셈)으로 이루어진 함수에 대해, 그의 부정적분을 구할 때, 함수의 일부를 치환한 후, 나머지 부분이 치환 변수의 무한소의 실수배로 바꾸어서, 적분하는 경우를 다룹니다.

반면에 두 함수의 곱셈(또는 나눗셈)에 대한 부정적분을 치환적분법으로 구할 수 없는 경우가 있는데, 이때, 이용하는 것이 부분적분법입니다.

다항함수의 미분법#곱의 미분법에서, 두 함수의 곱의 도함수는

\(\quad\)\(\displaystyle \frac{d}{dx}\left\{f(x)g(x)\right\}=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\)

에 대해, 그의 역도함수는

\(\quad\)\(\displaystyle \int \frac{d}{dx}\left\{f(x)g(x)\right\}=\int f'(x)g(x)dx+ \int f(x)g'(x)dx\)

이고, 다음과 같이 조작하여,

\(\quad\)\(\displaystyle \int f(x)g'(x)dx = f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx\)

이것을 부분적분법이라고 합니다.

빠른 암기법

미적-지삼다로

오른쪽 변의 적분이 이전에 배운 다른 방법으로 적분이 가능하도록 선택하는 것이 중요한데, 문제는 왼쪽 변이 주어지므로, 그때에 지수함수, 삼각함수, 다항함수, 로그함수 순으로 빠른 것을 미분으로 둡니다. 기억할 때에는, 우리가 미분 후에 적분을 배우는 것처럼, 그 순서대로 앞글자만 따서 오직 지삼다로를 암기할 수 있습니다.

You LATE!!

보통 위의 식을 다음과 같은 함수를 사용하면, LATE중에서 앞에 오는 것이 함수 u에 해당합니다.

\(\quad\)\(\displaystyle \int u(x)v'(x)\,dx \ =\ u(x)v(x) - \int u'(x)v(x) \,dx, \)

여기서 LATE는 다음을 의미하고, 대수적 함수는 다항 함수를 포함합니다:

\(\quad\)L – 로그 함수(logarithmic function): \(\ln(x),\ \log_b(x),\) 등등.

\(\quad\)A – algebraic functions(대수적 함수): \(x^2,\ 3x^{50},\) 등등.

\(\quad\)T – 삼각 함수(trigonometric functions): \(\sin(x),\ \tan(x),\) 등등.

\(\quad\)E – 지수 함수(exponential function): (e^x,\ 19^x,\) 등등.

함수의 순서 선택 이유

우리는 기본 함수의 역도함수를 알고 있고, 둘 이상의 함수의 곱을 치환 적분법으로 접근하고, 남은 것 중에서 주로 다항함수와 다른 함수가 곱해진 형식을 부분적분법으로 역도함수를 구할 수 있습니다. 이때, 어떤 함수를 없앰으로써, 오직 하나의 함수가 존재하는 것으로 바꿀 수 있느냐?가 주요 관건입니다.

부분적분법에서 오른쪽 변의 두 번째 항은 원래 함수를 미분한 형식을 포함하고 있으므로, 만약 그것이 다항함수라면, 차수가 줄어드는 효과가 있습니다. 따라서 부분적분법을 계속 적절하게 적용하면, 다항 함수는 상수 함수, 즉 하나의 숫자로 변하게 됩니다.

또한, 로그 함수는 미분하면, 로그의 인수가 분모로 내려감으로써, 만약 그것이 다항함수를 포함한 대수적 함수이고, 남아있는 함수가 다항함수이면, 그것과 약분이 될 가능성을 갖게 됩니다.

나머지, 지수함수는 미분해도 원래 지수함수를 포함하는 형식이고, 삼각함수는 미분해도 계속 모양이 바뀐 다른 삼각함수가 되므로, 없어지는 방향과는 거리가 멀다고 생각될 수 있습니다.

따라서, 다항함수와 로그함수가 오른쪽 두 번째 항에서 미분의 형식이 되도록 함수를 설정해야 하고, 로그함수가 분모로 내려가서 다항함수와 약분이 될 수 있으므로, 다항함수보다는 로그함수가 선호됨을 알 수 있습니다.

한편, 우리에게 주어진 함수꼴은 부분적분법에서 왼쪽 변이므로, 왼쪽 변에서는 위와 거꾸로 함수가 적용되어야 합니다. 따라서, 지수, 삼각, 다항, 로그 함수로 미분된 것을 선택되어야, 오른쪽 변으로 넘어가서, 로그, 다항, 삼각, 지수 함수 순으로 미분을 선호하는 순서로 바뀌게 됩니다.

기본예제

기본예제1

부정적분 \(\displaystyle \int x e^x dx\)에 대해, 지수함수와 다항함수이므로, 지수함수를 미분으로 삼아,

\(\quad\)\(f(x)=x,\;g'(x)=e^x\)

로 놓으면,

\(\quad\)\(f'(x)=1,\;g(x)=e^x\)

이므로, 부정적분

\(\quad\)\(\displaystyle \begin{align}
\int x e^x dx & = x e^x - \int e^x dx \\
& = x e^x - e^x +C \\
\end{align}\)

기본예제2

부정적분 \(\displaystyle \int 2x \ln x dx\)에 대해, 로그함수와 다항함수이므로, 다항함수를 미분으로 삼아,

\(\quad\)\(f(x)=\ln x,\;g'(x)=2x\)

로 놓으면,

\(\quad\)\(\displaystyle f'(x)=\frac{1}{x},\;g(x)=x^2\)

이므로, 부정적분

\(\quad\)\(\displaystyle \begin{align}
\int 2x \ln x dx & = \left(\ln x\right) \cdot x^2 - \int \frac{1}{x} \cdot x^2 dx \\
& = x^2 \ln x - \frac{1}{2}x^2 + C \\
\end{align}\)

응용예제

응용예제1

\(\displaystyle \int_e^{e^2} \frac{\ln x -1}{x^2}dx\;\)의 값은? [3점] [2020학년도 수능 가형 8번]