수열의 귀납적 정의

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See also: Recurrence relation

수학에서, 재귀 관계(recurrence relation:재귀식)는 하나 이상의 초기 항이 주어지면 값의 수열(sequence) 또는 다차원 배열을 재귀적으로(recursively) 정의하는 방정식(equation)입니다: 수열 또는 배열의 각 다음 항은 이전의 항의 함수(function)로써 정의됩니다.

용어 차이 방정식(difference equation:차분 방정식:계차수열)은 때때로 (그리고 이 기사의 목적을 위해) 재귀 관계의 특정 유형을 나타냅니다. 어쨌든, "차이 방정식"은 임의의 재귀 관계를 나타내기 위해서 자주 사용됩니다.

고등학교 교과서에서는, 제목처럼, 수열의 귀납적 정의 그리고 관계식을 점화식이라고 표현합니다.

예를 들어, 이전에 배웠던 산술 진행(등차수열)은 다음과 같이 재귀 관계로 표현될 수 있습니다.

\(\quad\)\(a_1=a, a_{n+1}=a_n+d\)

\(\quad\)\(b_1=b, b_{n+2}=2b_{n+1}-b_n\)

재귀 관계는 전 항의 함수로 표현하기 때문에 왼쪽 변에 인덱스가 가장 높은 항이 존재합니다. 그러나 어떤 경우에는 보다 재귀식이 가진 관계를 쉽게 이해되도록 변경하기도 합니다. 위의 재귀식은 목적에 따라 다음과 같이 변경되기도 합니다.

• 공통 차이 강조: \(a_{n+1}-a_n=d\)
• 공통 차이 같음: \(a_{n+1}-a_n=a_{n+2}-a_{n+1}\)
• 중간 항 강조: \(\displaystyle a_{n+1}=\frac{a_{n+2}+a_n}{2}\)
• 중간 항 변형: \(2a_{n+1}=a_{n+2}+a_n\)

그러므로 위의 형태의 재귀 관계로부터 이 수열이 산술 진행임을 알 수 있어야 합니다.

마찬가지로 기하 진행의 재귀 관계는 다음과 같습니다. 물론 기하 진행에서는 항이 영이 되는 경우는 없어야 합니다.

\(\quad\)\(a_1=a, a_{n+1}=a_n\cdot r\)

\(\quad\)\(\displaystyle b_1=b, b_{n+2}=\frac{b_{n+1}^2}{b_n}\)

산술 진행과 비슷하게, 기하 진행도 특징을 보다 쉽게 이해하기 위해서 다음과 같이 변경될 수 있습니다.

• 공통 비율 강조: \(\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n} = r\)
• 공통 비율 같음: \(a_{n+1}\div a_n=a_{n+2}\div a_{n+1}\)
• 중간 항 강조: \(a_{n+1}^2=a_n\cdot a_{n+1}\)
• 중간 항 변형: \(a_{n+1}=\pm \sqrt{a_n\cdot a_{n+1}}\)

산술 진행의 역수를 수열로 취하는 조화 진행(조화수열)은 다음과 같은 재귀 관계가 있습니다.

• 공통 차이: \(\displaystyle \frac{1}{a_{n+1}}=\frac{1}{a_n}+d\)
• 조화 중항: \(\displaystyle \frac{1}{a_{n+2}}=\frac{2}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_{n}}\)
• 공통 차이: \(\displaystyle \frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_n}=d\)
• 공통 차이: \(\displaystyle \frac{1}{a_{n+2}}-\frac{1}{a_{n+1}}=\frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_n}\)
• 조화 중항: \(\displaystyle \frac{2}{a_{n+1}}=\frac{1}{a_{n+2}}+\frac{1}{a_{n}}\)
• 조화 중항: \(\displaystyle a_{n+1}=\frac{2 a_n a_{n+2}}{a_n + a_{n+2}}\)

자주 나오는 점화식

여기서, 초기 값, 또는 상수는 수열이 만들어지도록 제공이 되어야 합니다. 각 상수의 값에 따라, 이전의 다른 재귀 관계가 되는 것에 대해, 자세하게 상수 값의 조건을 명시하지는 않았습니다.

합의 형태

등차수열은 항 사이의 차이가 일정한 값을 가지지만, 이 값이 규칙적으로 변하는 것은 위에서 소개한 것처럼 계차수열이라고 합니다.

\(\quad\)\(a_{n+1}-a_{n}=f(n)\)

이것의 일반항을 구하는 방법은 등차수열의 일반항을 구하는 방법과 같습니다. 등차수열은 항 사이의 차이가 일정하므로, 첫째 항에서 \(n\)번째 항까지 \(n-1\) 간격을 같은 차이로 이동합니다.

\(\quad\)\(a_n=a_1+(n-1)d\)

반면에, 계차수열은 그 차이가 일정하지 않기 때문에, 그 형태를 그대로 더해야 합니다. 물론, 일정하면, 등차수열로 줄어듭니다.

\(\quad\)\(\begin{align}
a_n & =a_1+f(1)+f(2)+f(3)+\cdots+f(n-1) \\
& =a_1+\sum^{n-1}_{k=1}f(k)
\end{align}\)

이때, \(f(k)\)는 기존의 알려진 등차수열을 비롯한 시그마 공식으로 구해지는 수열, 등비수열, 부분분수, 유리화 등으로 주어집니다.

일반항을 구하는 또 다른 방법은 축차대입법으로 알려진 것으로, 값을 하나씩 대입한 후,

\(\quad\)\(\begin{align}
a_2-a_1 & =f(1) \\
a_3-a_2 & =f(2) \\
a_4-a_3 & =f(3) \\
\quad \vdots \\
a_n-a_{n-1} & =f(n-1) \\
\end{align}\)

양쪽 변을 변끼리 더하면,

\(\quad\)\(a_n-a_1=f(1)+f(2)+f(3)+\cdots+f(n-1)\)

곱의 형태

등비수열은 항 사이의 비율이 일정한 값을 가지지만, 이 값이 규칙적으로 변하는 수열이며, 어떤 항도 0이 될 수는 없습니다.

\(\quad\)\(a_{n+1}=f(n)\cdot a_n\)

이것의 일반항을 유도할 때, 등비수열의 일반항을 유도할 때의 개념으로 접근할 수도 있습니다. 등비수열은 항 사이의 비율이 일정하기 때문에 같은 비율이 항의 위치 차이만큼 곱해집니다.

\(\quad\)\(a_{n}=a_1 r^{n-1}\)

반면에, 이 점화식은 비율이 변하기 때문에, 계산 전에는 그 결과를 알 수 없으므로, 변하는 값을 그대로 곱합니다.

\(\quad\)\(a_n=a_1\cdot f(1)\cdot f(2)\cdot f(3)\cdots f(n-1)\)

이것의 일반항의 표시는 위와 마찬가지로, \(n=1,2,3,\cdots\)에 대입한 후,

\(\quad\)\(\begin{align}
a_2 & =f(1)\cdot a_1 \\
a_3 & =f(2)\cdot a_2 \\
a_4 & =f(3)\cdot a_3 \\
\quad \vdots \\
a_n & =f(n-1)\cdot a_{n-1} \\
\end{align}\)

양쪽 변을 변끼리 곱한 후, 약분하면,

\(\quad\)\(a_n=a_1\cdot f(1)\cdot f(2)\cdot f(3)\cdots f(n-1)\)

#전항과의 합과 같은 개념으로 일반항을 유추할 수 있고, 더구나, 고등학교에서 소개되지는 않지만, 이를 간단히 표기하는 방법이 있습니다. 수열의 곱을 참조하십시오.

\(\quad\)\(\displaystyle a_n=a_1\cdot \prod_{k=1}^{n-1} f(k)\)

• 만약 \(f(k)=p^k\;(p\neq 0)\)와 같은 꼴이면, 지수가 등차수열의 합으로 나타낼 수 있습니다.
• 만약 \(f(n)=\frac{q}{p}\)와 같은 유리식이면, 분모/분자가 규칙적으로 약분되어 몇 개의 항만 남는 경우가 많습니다.

합과 곱의 복합 형태

이전 항에 일정한 비율을 곱하고, 또한, 일정한 합을 더하는 형태가 있는데, 식을 조작해서 등비수열 형태로 바꿀 수 있습니다.

\(\quad\)\(a_{n+1}=pa_n+q\;(p\neq 0,1,\;q\neq 0)\cdots(1)\)

이것은 일반항을 구하는 방법은 식 (1)에서, \(n\) 대신에 \(n-1\)을 대입하면, 즉, 이전 재귀 관계식을 쓰면

\(\quad\)\(a_n=pa_{n-1}+q\cdots(2)\)

그런 다음, 식 (1)–(2)를 하면,

\(\quad\)\(a_{n+1}-a_n=p(a_n-a_{n-1})\)

이것은 계차수열이 공비 \(p\)를 가지는 등비수열입니다.

\(\quad\)\(\displaystyle a_n=a_1+\frac{(a_2-a_1)(p^{n-1}-1)}{p-1}\)

다른 방법으로는 식 (1)을 다음과 같은 형태로 조작한 후,

\(\quad\)\(a_{n+1}-\alpha = p (a_n-\alpha)\)

이것으로부터, \(a_n-\alpha\)은 공비 \(p\)를 가지는 등비수열이므로,

\(\quad\)\(a_n-\alpha=(a_1-\alpha)\cdot p^{n-1}\)

여기서 \(\displaystyle \alpha=\frac{q}{1-p}\)입니다.
이런 방법으로 수열을 다루는 것은 기억해 둘 필요가 있지만, 최종 결과 수식을 암기하고 있을 필요는 없습니다. 이 정도는 머릿속에서 계산이 가능한 정도로 볼 수 있습니다.

역수의 형태

역수가 등차수열을 이루는 조화수열에 대해 이미 알고 있습니다. 어쨌든, 다음 형태는 역수를 취함으로써, 일반항을 구할 수 있는 재귀 관계입니다.

\(\quad\)\(\displaystyle a_{n+1}=\frac{ra_n}{pa_n+q}\;\;(p,q,r\neq 0)\)

양쪽 변에 역수를 취하면,

\(\quad\)\(\displaystyle \frac{1}{a_{n+1}}=\frac{q}{r}\cdot\frac{1}{a_n}+\frac{p}{r}\)

이때, 

첫 번째 \(r=p\)이면, 이 재귀 관계는 조하수열이 되며,

그렇지 않으면, #합과 곱의 복합 형태의 재귀 관계가 됩니다.

계수의 합이 영인 형태

연속된 세 항 사이에 다음의 재귀 관계가 있을 때,

\(\quad\)\(pa_{n+2}=-qa_{n+1}-ra_n\)

여기서, \(p+q+r=0, p\neq 1, q\neq -2, r\neq 1\)입니다.

이때, \(-p=p+r\)이므로, 식 (1)에 대입해서 정리하면,

\(\quad\)\(\displaystyle a_{n+2}-a_{n+1}=\frac{r}{p}(a_{n+1}-a_n)\)

그러므로, 계차수열이 공비 \(\frac{r}{p}=k\)를 가지는 재귀 관계입니다.

\(\quad\)\(\displaystyle a_n=a_1+\frac{(a_2-a_1)(1-k^{n-1})}{1-k}\)

지수배 형태

이전 항의 지수배에 대해 새로운 항이 발생하는 재귀 관계에서,

\(\quad\)\(a_{n+1}=k\cdot a_n^p\)

여기서, \(p \neq 0, 1\)입니다.

역시 지수에 대해 역의 관계에 있는 로그를 이용해서, 일반항을 구할 수 있습니다.

양쪽 변에 로그를 취하면,

\(\quad\)\(\log a_{n+1} = \log k + p \log a_n\)

물론, 로그가 정의되도록 수열의 값이 주어져야 하고, 이 형태는 [[#합과 곱의 복합 형태]]의 모양을 띕니다.

응용예제

응용예제1

각 항이 자연수인 수열 \(\{a_n\}\)이 다음 세 조건을 만족할 때, \(a_8\)의 값을 구하시오. (단, \(n=1,2,3,\cdots\))

응용예제2

수열 \(\{a_n\}\)의 첫째 항부터 제 \(n\)항까지의 합을 \(S_n\)이라 할 때,

\(\quad\)\(S_n=1-(n+1)a_n\;(n=1,2,3,\cdots)\)

이 성립한다. 이때, \(\displaystyle \sum^{10}_{k=1} \frac{1}{a_k}\)의 값은?

응용예제3

다음과 같이 정의된 수열 \(\{a_n\}\)에 대하여 \(a_{20}\)의 값을 구하시오.

\(\quad\)\(a_1=0,\;n^2 a_{n+1}=(n+1)^2 a_n + 2n+1\;(n=1,2,3,\cdots)\)

응용예제4

0이 아닌 두 실수 \(p,q\)에 대하여 수열 \(\{a_n\}\)이 

\(\quad\)\(a_1,\;pa_{n+1}=qa_n+1\;\;(n=1,2,3,\cdots)\)

을 만족할 때, 수열 \(\{a_n\}\)에 대한 설명으로 옳은 것을 있는 대로 고르시오.

\(\quad\)(ㄱ) \(p=q\)일 때, 수열  \(\{a_n\}\)은 등차수열이다.

\(\quad\)(ㄴ) \(p \neq q\)일 때, 수열  \(\displaystyle \left\{a_n-\frac{1}{p-q}\right\}\)은 등비수열이다.

\(\quad\)(ㄷ) \(\displaystyle -1 < \frac{q}{p} < 1\)일 때, 수열  \(\{|\{a_n\}|\}\)의 항은 점점 작아진다.

응용예제5

등차수열 \(\{a_n\}\)의 공차와 각 항이 0이 아닌 실수일 때, 방정식 \(a_{n+2}x^2+2a_{n+1}x+a_n=0\)의 한 근을 \(b_n\)이라 하자. 이때, 등차수열 \(\displaystyle \left\{\frac{b_n}{b_n+1}\right\}\)의 공차를 구하시오. (단, \(b_n \neq -1\))

응용예제6

수열 \(\left\{a_n\right\}\)은 \(0<a_1<1\)이고, 모든 자연수 \(n\)에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

\(\quad\)(ㄱ) \(a_{2n}=a_2\times a_n + 1\)

\(\quad\)(ㄴ) \(a_{2n+1}=a_2\times a_n - 2\)

\(a_8-a_{15}=63\)일 때, \(\displaystyle \frac{a_8}{a_1}\)의 값은? [4점] [2021학년도 수능 가형 21번]

응용예제7

수열 \(\left\{a_n\right\}\)은 \(0<a_1<1\)이고, 모든 자연수 \(n\)에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

\(\quad\)(ㄱ) \(a_{2n}=a_2\times a_n + 1\)

\(\quad\)(ㄴ) \(a_{2n+1}=a_2\times a_n - 2\)

\(a_7=2\)일 때, \(a_{25}\)의 값은? [4점] [2021학년도 수능 나형 21번]

응용예제8

수열 \(\{a_n\}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

\(\quad\)(ㄱ) \(a_{2n}=a_n -1\)

\(\quad\)(ㄴ) \(a_{2n+1}=2a_n +1\)

\(a_{20}=1\)일 때, \(\displaystyle \sum_{n=1}^{63}a_n\)의 값은? [4점] [2020학년도 수능 나형 21번]