집합의 연산에 대한 성질

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실수의 덧셈, 곱셈 연산에서 처럼 [[집합의 연산]] 사이에서도 법칙들이 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙이 성립합니다. 즉, 전체집합 \(U\)의 세 부분집합 \(A,B,C\)에 대하여 다음과 같은 법칙이 성립합니다.

교환법칙:

\(\quad\)\(A\cup B=B\cup A\)

\(\quad\)\(A\cap B=B\cap A\)

결합법칙:

\(\quad\)\((A\cup B)\cup C=A\cup (B \cup C)\)

\(\quad\)\((A\cap B)\cap C=A\cap (B \cap C)\)

분배법칙:

\(\quad\)\(A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A \cup C)\)

\(\quad\)\(A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A \cap C)\)

집합의 연산에 대한 여러가지 성질

집합의 기본 법칙인 교환, 결합, 분배법칙을 적용했을 때, 몇 가지 성질을 발견할 수 있습니다:

흡수의 성질

\(\quad\)\(A \cup (A\cap B)=A\)

\(\quad\)\(A \cap (A\cup B)=A\)

교집합, 합집합의 성질

\(\quad\)\(A \cup A=A,\; A \cap A=A\)

\(\quad\)\(A \cup \emptyset=A,\; A \cap \emptyset=\emptyset\)

\(\quad\)\(A \cup U=U,\; A \cap U=A\)

여집합의 성질

\(\quad\)\(U^c=\emptyset,\; \emptyset^c=U\)

\(\quad\)\(A\cup A^c=U,\; A\cap A^c=\emptyset\)

\(\quad\)\(\left(A^c\right)^c=A\)

기억해둘 만한 것

집합의 연산에 대한 기본 법칙이나 성질을 확인할 때에는 벤 다이어그램을 많이 이용합니다. 만약 벤 다이어그램을 그리기 힘든 경우에는, 벤 다이어그램의 각 영역에 1개의 원소만 적어서, 집합의 상등을 이용해서 좌우변의 원소들이 서로 같아지는지 확인하는 것이 효과적인 경우가 있습니다.