이차방정식의 판별식

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Main article: Discriminant

판별식이란 이차방정식의 계수들 사이의 관계식으로, 그 근의 성질에 대한 정보를 알려주는 것을 말합니다.
이차 방정식
\(\quad\)\(ax^2 + bx + c=0\)
의 판별식은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다:
\(\quad\)\(D = b^2 - 4ac\)
여기서, \(a, b, c\)가 실수일 때

• \(D>0\)이면, 이차 방정식은 두 개의 서로 다른 실근을 가지고
• \(D=0\)이면, 이차 방정식은 서로 같은 실근(중근)을 가지고
• \(D<0\)이면, 이차 방정식의 해는 두 개의 서로 다른 허근을 가집니다.

판별식에서 계수는 반드시 실수여야 합니다. 여기서 판별하는 것이 근의 종류이기 때문입니다. 원래 판별식은 근의 공식에서 옵니다.
\(\quad\)\(\displaystyle x= \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac\  }}{2a}= \frac{-b\pm\sqrt{D\  }}{2a}\)
만약 여기서 \(a\) 또는 \(b\)가 허수이고 약분이 되지 않는다면, 판별식에 상관없이 근은 허근을 갖게 됩니다. 결국 판별식을 적용하는 의미가 없어지므로, 반드시 실수 계수를 가진 이차방정식에 대해 사용됩니다.
이제, 계수가 실수이면, 근의 공식에서 제곱근 안의 값이 양수인지, 영인지, 음수인지에 따라, 위에서 명시된 것처럼, 서로 다른 두 실근, 서로 같은 실근, 서로 다른 두 허근을 가집니다.
한편, 서로 같은 근을 말하는 (이)중근은 계수가 허수라도 상관이 없습니다. 단지 \(D=0\)이 되면, 제곱근 앞의 복부호가 사라져서 서로 같은 근(중근)을 갖기 때문입니다.

짝수 공식의 판별식

짝수 공식에서는 \(b=2b'\)이므로 아래와 같이 식이 존개됩니다.
\(\quad\)\(D = b^2 - 4ac = \left(2b'\right)^2 - 4ac\)
양변을 \(4\)로 나누면 다음과 같이 짝수 공식의 판별식이 만들어 집니다.
\(\quad\)\(D/4 = b'^2 - ac\)

판별식의 활용

실계수 이차방정식 \(ax^2+bx+c=0\)이 실근을 갖게 되려면, 판별식에서 서로 다른 실근 또는 중근이 이에 해당됩니다. 그러므로 \(D\geq 0\)으면 실근을 갖게 됩니다.
또 이차식 \(ax^2+bx+c\)가 완전제곱식이 되려면 \(ax^2+bx+c=0\)이 중근을 가지면 되므로 \(D=0\)인 경우입니다.

응용예제

응용예제1

실수 \(x\)에 대하여 \(\displaystyle \frac{8x+8}{x^2+4}\)의 최댓값을 \(M\), 최솟값을 \(m\)이라 할 때, \(M-m\)의 값을 구하시오.

응용예제2

\(x\)에 관한 이차방정식 \(\left\{4+(a+b)^2\right\}x^2+2(a+b-2)x+2=0\)이 실근을 가질 때, \(a+b\)의 값은? (단, \(a,b\)는 실수입니다.)

응용예제3

이차방정식 \(x^2+ax-b-2=0\)이 중근을 가질 때, \(x\)에 대한 이차방정식 \(3x^2-2ax+b^2-3b=0\)의 근을 판별하면? (단, \(a, b\)는 실수입니다.)

응용예제4

함수 \(y=(m-1)x^2-4x-2\)의 그래프와 직선 \(y=2mx+2\)가 한 점에서 만날 때, 실수 \(m\)의 개수를 구하시오.

응용예제5

서로 다른 두 주사위 \(\mathrm{A,B}\)를 던져서 나오는 눈의 수를 각각 \(a,b\)라고 놓습니다.\(x\)에 관한 이차방정식 \((a-b)x^2-ax+b=0\)이 서로 다른 두 실근을 갖도록 하는 순서쌍 \((a,b)\)의 개수는?

응용예제6

\(x\)에 대한 이차방정식
\(\quad\)\((k^2+2k+1)x^2-2(a+k)^2x+k^2+3ak+b=0\)
이 실수 \(k\)의 값에 관계없이 항상 \(x=1\)을 근으로 가진다고 합니다. 이때, 상수 \(a,b\)의 값을 구하고, 다른 한 근 \(x=\beta\)가 가지는 값의 범위를 구하여라.

응용예제7

실수 \(a,b,c\)에 대하여 \(a+b+c=3\), \(a^2+b^2+c^c=9\)입니다. \(c\)의 값이 최대일 때, \(a,b\)의 값을 구하여라.

응용예제8

\(x,y\)가 실수이고, \(x^2+y^2=1\)일 때, \((x+2y)^2+(3x+2y)^2\)의 최댓값과 최솟값을 구하여라.

응용예제9

\(x\)에 관한 이차방정식 \(x^2-2x+a=0\)의 서로 다른 두 근 \(\alpha, \beta\)와 \(x\)에 관한 이차방정식 \(x^2+bx-2=0\)의 서로 다른 두 근 \(\gamma, \delta\)에 대하여 \(\alpha+\gamma=2+2i\)일 때, \(a^2+b^2\)의 값을 구하시오. (단, \(i=\sqrt{-1}\)이고, \(a,b\)는 실수이다.)

응용예제10

이차식 \(f(x)=x^2+2x+4\)와 두 정수 \(p,q\)에 대하여 \(g(x)=f(x-p)-q\)가 다음 두 조건을 만족시킬 때, \(p^2+q^2\)의 최댓값을 구하시오.
\(\quad\)(ㄱ) \(g(0)=2\)
\(\quad\)(ㄴ) 방정식 \(g(x)=0\)이 서로 다른 두 허근을 갖는다.