조화수열

조화수열(harmonic progression)은 수열 \(\{a_n\}\)의 각 항의 역수로 이루어진 수열 \(\left\{\frac{1}{a_n}\right\}\)이 등차수열을 이룰 때, 수열 \(\{a_n\}\)을 이르는 말입니다.

조화수열의 일반항

일반항을 구할 때에는 역수를 취해서 등차수열의 일반항을 구하고, 그의 역수를 취해서 조화수열의 일반항을 구합니다.

세 수 \(a\), \(b\), \(c\)가 이 순서로 조화수열을 이루고 있다면, \(b\)는 \(a\)와 \(c\)의 조화중항이라고 합니다. 이때, \(b\)는 \(a\)와 \(c\)의 조화평균이라고도 부릅니다.

\(\quad\)\(\displaystyle\therefore b = \frac{2ac}{a+c}\)

두 수가 모두 양수라면, 두 수의 조화평균은 기하평균보다 항상 작거나 같습니다. 기하평균은 산술평균보다 작거나 같으므로, 다음과 같은 절대부등식이 만들어집니다.

\(\quad\)\(a\), \(b\) 두 수가 모두 양수일 때, \(\displaystyle \frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab} \ge \frac{2ab}{a+b}\)가 항상 성립합니다.

여기서 등호조건은 \(a=b\)입니다.