사인 법칙

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삼각법(trigonometry)에서, 사인 법칙(sine law)은 삼각형의 변의 길이와 각도의 사인(sine)을 관련시키는 방정식입니다. 그 법칙에 따라,

\(\quad\)\(\displaystyle \frac{a}{\sin A} \,=\, \frac{b}{\sin B} \,=\, \frac{c}{\sin C} \,=\, 2R, \)

여기서 \(a, b\), 및 \(c\)는 삼각형의 변의 길이이고, \(A, B\), 및 \(C\)는 반대편 각도이고, 반면에 \(R\)은 삼각형의 외접원의 반지름입니다. 그 방정식의 마지막 부분은 사용되지 않을 때, 그 법칙은 때때로 역수를 사용하여 표현될 수 있습니다:

\(\quad\)\(\displaystyle  \frac{\sin A}{a} \,=\, \frac{\sin B}{b} \,=\, \frac{\sin C}{c}. \)

이것은 각도의 사인의 비율이 변의 길이의 비율과 같음을 나타냅니다:

\(\quad\)\(\sin A : \sin B : \sin C = a:b:c\)

사인의 법칙은 두 각도와 한 면이 알려져 있을 때 삼각형의 남아있는 변을 계산하기 위해서 사용될 수 있습니다 (아래 예제를 참조하십시오). 그것은 역시 두 변과 그것에 끼여있지 않은 다른 각도의 하나가 알려져 있을 때 사용될 수 있습니다. 일부 그러한 경우에서, 삼각형은 이 데이터에 의해 고유하게 결정되지 않을 수 있는데, 삼각형의 형성을 위배하시 않으면서, 사인의 해가 1사분면과 2사분면에 하나씩 발생할 수 있기 때문입니다 (아래의 내용을 참조하십시오).

사인의 법칙은 부등변 삼각형(scalene triangle)의 길이와 각도를 찾기 위해 공통적으로 적용되는 두 삼각 방정식 중 하나이며, 다른 하나는 코사인 법칙입니다.

증명

임의의 삼각형의 넓이 \(T\)는 밑면 곱하기 높이의 절반으로 쓰여질쓰일 수 있습니다. 삼각형의 한 변을 밑변으로 선택하면, 해당 밑변에 관한 삼각형의 높이는 또 다른 변의 길이 곱하기 선택된 변과 밑변 사이의 각도의 사인으로 계산됩니다. 따라서, 밑면의 선택에 따라 삼각형의 넓이는 다음 중 임의의 것으로 쓰일 수 있습니다:

\(\quad\)\(\displaystyle T = \frac{1}{2}b(c \sin A) = \frac{1}{2}c(a \sin B) = \frac{1}{2}a(b \sin C)\,.\)

이 식의 양쪽 변에 \(\frac{2}{abc}\)를 곱하면 다음을 제공합니다:

\(\quad\)\(\displaystyle \frac{2T}{abc} = \frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c}\,.\)

삼각형 해의 모호한 사례

코사인은 90도에서 180도 사이의 각에 대해 음의 값을 갖지만, 사인은 90도에서 180도 사이의 각에 대해 양의 값을 가집니다. 즉, 하나의 사인 값에 대해 180도 사이에서 두 가지 가능한 각이 있습니다. 이 경우에서, 삼각형의 형성 조건에 위배되지 않으면, 두 가지 가능한 삼각형이 그려질 수 있습니다. 아래에 표시된 경우에서, 그것들은 삼각형 \(ABC\) 및 \(AB^′C^′\)입니다.

일반적인 삼각형이 주어지면, 다음 조건은 모호한 것이 되는 경우에 대해 충족되어야 합니다:

• 삼각형에 대한 알려진 유일한 정보는 각도 \(A\) 및 변 \(a\)와 \(c\)입니다.
• 각도 \(A\)는 예각입니다 (즉, \(A\) < 90°).
• 변 \(a\)가 변 \(c\)보다 더 짧습니다 (즉, \(a < c\)).
• 변 \(a\)는 각도 \(B\)로부터 고도 \(h\)보다 더 길고, 여기서 \(h = c \sin A\)입니다 (즉,  \(a > h\)).

추가적인 정보없이 어떤 삼각형이 요청되었는지 결정하는 것은 불가능합니다.

기본예제

기본예제 1

주어진 것: 변 \(a = 20\), 변 \(c = 24\), 및 각도 \(C = 40°\). 각도 \(A\)가 요구됩니다.

사인의 법칙을 사용하면, 우리는 다음임을 결론짓습니다:

\(\quad\)\(\displaystyle \frac{\sin A}{20} = \frac{\sin 40^\circ}{24}.\)

\(\quad\)\(\displaystyle  A = \arcsin\left( \frac{20\sin 40^\circ}{24} \right) \approx 32.39^\circ. \)

잠재적 해 \(A = 147.61°\)는 제외되는데 왜냐하면 그것은 필연적으로 \(A + B + C > 180°\)을 제공하기 때문임에 주목하십시오.

기본예제 2

만약 삼각형의 두 변 \(a\)와 \(b\)의 길이가 \(x\)와 같고, 세 번째 변은 길이 \(c\)를 가지고,  길이  \(a\), \(b\), 및 \(c\)의 변의 반대편의 각도는 각각, \(A\), \(B\), 및 \(C\)이면

\(\quad\)\(\begin{align}
& A = B = \frac{180^\circ-C}{2}= 90^\circ-\frac{C}{2} \\[6pt]
& \sin A = \sin B = \sin \left(90^\circ-\frac{C}{2}\right) = \cos \left(\frac{C}{2}\right) \\[6pt]
& \frac{c}{\sin C}=\frac{a}{\sin A}=\frac{x}{\cos \left(\frac{C}{2}\right)} \\[6pt]
& \frac{c \cos \left(\frac{C}{2}\right)}{\sin C} = x
\end{align}\)

둘레원과의 관계

항등식에서,

\(\quad\)\(\displaystyle  \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\),

세 분수의 공통 값은 사실은 프톨레마이오스(Ptolemy)로 거슬러 올라가는 삼각형의 외접원의 지름입니다.

증명

그림에서 보인 것처럼, 내접된 \(\bigtriangleup ABC\)을 갖는 원이 있고 원의 중심 O를 통과하는 또 다른 내접된 \( \bigtriangleup ADB\)이 있다고 놓습니다. \( \angle AOD\)은 \(180^\circ\)의 중심각을 가지고 따라서 \(\angle ABD = 90^\circ\)입니다. \( \bigtriangleup ABD\)가 직각 삼각형이므로,

\(\quad\)\(\displaystyle  \sin D= \frac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}= \frac{c}{2R},\)

여기서 \(R\)은 삼각형의 외접원의 반지름입니다. 각도 \(\angle C\)와 \(\angle D\)는 같은 중심각을 가지고 따라서 그들은 같은 값입니다: \( \angle C=\angle D\). 그러므로,

\(\quad\)\(\displaystyle  \sin D= \sin C=\frac{c}{2R}.\)

다시-정렬하면 다음을 쓸 수 있습니다:

\(\quad\)\(\displaystyle  2R=\frac{c}{\sin C}.\)

위 과정을 다음 점을 갖는 \(\bigtriangleup ADB\)을 생성하는 것에 반복하면 다음을 제공합니다:

\(\quad\)\(\displaystyle  \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}=2R.\)

삼각형의 넓이와의 관계

삼각형의 넓이는 \(T=\frac{1}{2}ab \sin \theta\)에 의해 제공되며, 여기서 \(\theta\)는 길이 \(a\)와 \(b\)의 변에 의해 끼인 각도입니다. 사인의 법칙을 이 방정식으로 대체하면 다음과 같습니다:

\(\quad\)\(\displaystyle T=\frac{1}{2}ab \cdot \frac {c}{2R}.\)

\(R\)을 외접원 반지름으로 취하면,

\(\quad\)\(\displaystyle T=\frac{abc}{4R}.\)

역시 이 방정식이 다음임을 보일 수 있습니다:

\(\quad\)\(\begin{align}
\frac{abc} {2T} & = \frac{abc} {2\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}} \\[6pt]
& = \frac {2abc} {\sqrt{{(a^2+b^2+c^2)}^2-2(a^4+b^4+c^4) }},
\end{align}\)

여기서 \(T\)는 삼각형의 넓이이고 \(s\)는 반-둘레 \(\displaystyle s = \frac{a+b+c}{2}\)입니다.

위의 두 번째 상등은 넓이에 대해 헤론의 공식으로 쉽게 단순화됩니다.

사인 법칙은 삼각형의 넓이에 대해 다음 공식을 유도하는 것에 역시 사용될 수 있습니다: 삼각형의 사인의 반-합을 \(\displaystyle S =\frac {\sin A + \sin B + \sin C}{2}\)으로 나타내면, 우리는 다음을 가집니다:

\(\quad\)\(\displaystyle T = D^{2} \sqrt{S(S-\sin A)(S-\sin B)(S-\sin C)}\)

여기서 \(D\)는 외접원의 지름입니다: \(\displaystyle D=2R=\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\).

응용예제

응용예제1

\(\displaystyle \angle = \frac{\pi}{3}\)이고, \(\overline{\mathrm{AB}}: \overline{\mathrm{AC}} = 3:1\)인 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)가 있다. 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 외접원의 반지름의 길이가 7일 때, 선분 \(\mathrm{AC}\)의 길이는? [3점] [2021학년도 수능 가형 10번]