속도와 거리(미적분1)

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이 가사의 제목에서, 속도와 거리는, 각각, 벡터, 스칼라입니다. 속도를 적분한 것은 같은 벡터량으로 위치의 변화량이 있지만, 거리를 선택한 이유는 넓이와 같은 맥락을 유지하기 위함입니다. 즉, 위치의 변화량은 음의 값을 가질 수 있지만, 거리는, 넓이와 마찬가지로, 비-음의 숫자로 다루어집니다.

속도와 가속도에서, 위치의 도함수가 속도이고, 속도의 도함수가 가속도임을 배웠습니다. 그리고, 일-차원, 즉 직선 운동에서, 그의 방향은 좌표축의 진행 방향으로 결정하고, 스칼라 식 자체를 벡터로 표기하기도 합니다. 이 기사도 직선 운동만을 다루기 때문에, 속도가 벡터에서 스칼라로 줄어드는 특별한 경우입니다.

또한, 미적분의 기본 정리에서 구간에서 정적분을 정의했습니다. 이때, 정적분은 부호화된 넓이를 나타내므로, 함숫값이 양수일 때에는 정적분 자체가 넓이임을 알 수 있었습니다.

마찬가지로, 점 \(\mathrm{P}\)의 시각 \(t\)에서의 속도(함수) \(v(t)\)를 알 때, 점 \(\mathrm{P}\)의 좌표 \(x=s(t)\)를 표현해 보고자 합니다.

만약 \(f(t)\)를 속도 \(v(t)\)의 부정적분 중의 하나라고 하면,

\(\quad\)\(\begin{align}
s(t) & =\int v(t)dt \\
& = f(t)+C \\
\end{align}\)

여기서, \(C\)는 적분상수입니다.

만약 임의의 시각 \(t_0\)에서의 점 \(\mathrm{P}\)의 위치 \(s(t_0)\)를 알면, \(t=t_0\)를 대입해서,

\(\quad\)\(s(t_0)=f(t_0)+C\)이므로, \(C=s(t_0)-f(t_0)\)

따라서,

\(\quad\)\(\begin{align}
s(t) & = f(t)+s(t_0)-f(t_0) \\
& = s(t_0) + f(t)-f(t_0) \\
& = s(t_0) + \int_{t_0}^t f(t)dt \\
& = s(t_0) + \int_{t_0}^t v(t)dt \\
\end{align}\)

이 식은, 움직이기 직전의 위치 \(s(t_0)\)에서, \(t-t_0\) 동안 움직여서 \(s(t)\)의 위치에 이르렀음을 의미합니다.

한편, 식을 바꾸어서,

\(\quad\)\(\displaystyle s(t)-s(t_0)=\int_{t_0}^t v(t)dt\)
이 식은 속도에 대한 정적분의 양이 위치의 변화량임을 의미합니다.

움직인 거리

직선 운동에서, 거리는 한 방향으로 움직였을 때에는 시작점과 끝점 사이의 선분의 길이입니다. 그러나, 방향을 바꾸었을 때에는 시작점과 끝점 사이의 선분의 길이가 아니라, 시작점에서 방향을 바꾸기 전까지의 선분의 길이와 방향을 바꾼 점에서 끝점 사이의 선분의 길이의 합입니다.

시각의 구간 \([a, b]\) (\(a < b\))에 대해, 속도의 정적분의 결과는 위치의 변화량을 나타냅니다.

만약 속도가 항상 양수이면, 정적분의 양은 항상 양수이고, 방향을 바꾸지 않기 때문에, 정적분 양 자체는 움직인 거리입니다.

만약 속도가 항상 음수이면, 정적분의 양은 항상 음수이고, 방향을 바꾸지 않기 때문에, 정적분 양에 –1을 곱한 값, 또는 그의 절댓값이 움직인 거리입니다.

만약 속도의 부호가 바뀌면, 반드시 속도가 0이 되는 지점, 즉, 방향이 바뀌는 지점이 존재하고, 속도가 양수인 부분과 음수인 부분을 별개로 정적분해서, 속도가 음수인 부분의 정적분의 부호를 바꾸어서 두 값을 더해야 합니다.

즉, 움직인 거리는

\(\quad\)\(\displaystyle l=\int_a^b |v(t)|dt\)
따라서, 속도 그래프에서 움직인 거리는 함수와 \(x\)-축 사이의 넓이의 개념과 완전히 동일합니다.

예를 들어, \(v(t)=2t\)일 때, \(t=0\)에서 \(t=3\)까지 움직인 거리는

\(\quad\)\(\displaystyle s(3)=\int_0^3 2tdt=\left[t^2\right]_0^3=3^2-0^2=9\)

이 값은 위치의 변화량과 동일합니다. 

한편, \(v(t)=4-2t\)일 때, 이전 예제와 다르게, 중간에 방향을 바꿉니다. 즉, \(v(2)=0\)이고, 직선이므로, \(t=0\)에서 \(t=2\)까지 속도는 양수이고, \(t=2\)에서 \(t=3\)까지는 음수입니다.

따라서, \(t=0\)에서 \(t=3\)까지 움직인 거리는, 속도가 양수이 부분과 음수인 부분을 별개로 구해서,

\(\quad\)\(\begin{align}
l & =\int_0^2 (4-2t)dt+\int_2^3(2t-4)dt \\
& = \left[4t-t^2\right]_0^2+\left[t^2-4t\right]_2^3 \\
& = 5 \\
\end{align}\)

게다가, 속도 그래프가 직선일 때에는 정적분으로 움직인 거리를 구하는 것보다 그래프에서 직접 넓이를 계산하는 것이 더 쉽고 빠릅니다.

즉, 움직인 거리는 넓이와 동일한 개념이므로, 두 삼각형의 넓이의 합으로 구할 수 있습니다.

\(\quad\)\(\displaystyle l=\frac{1}{2}\cdot 2 \cdot 4 + \frac{1}{2}\cdot 1 \cdot 2 = 4 + 1 =5\)

한편, \(t=0\)에서 \(t=3\)까지 위치의 변화량은

\(\quad\)\(\displaystyle s(3)=\int_0^3 (4-2t)dt = \left[4t-t^2\right]_0^3 = 12 - 9 = 3 \)

또는 부호화된 거리(넓이)로 계산할 수 있으므로, 위의 넓이의 합 계산식에서,

\(\quad\)\(\displaystyle s(3)=\frac{1}{2}\cdot 2 \cdot 4 - \frac{1}{2}\cdot 1 \cdot 2 = 4 - 1 =3\)

응용예제

응용예제1

수직선 위를 움직이는 점 \(\rm P\)의 시각 \(t \left(t \ge 0\right)\)에서의 속도 \(v(t)\)가

\(\quad\)\(v(t)=2t-6\)

이다. 점 \(\rm P\)가 시각 \(t=3\)에서 \(t=k\;(k > 3)\)까지 움직인 거리가 25일 때, 상수 \(k\)의 값은? [4점] [2021학년도 수능 나형 14번]