방정식과 부등식에의 활용(미적분1)

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이차함수는 판별식을 통해서 실근과 허근의 개수를 구할 수 있습니다. 삼차와 사차방정식은 판별식이 있더라도, 고등학교 교과과정에서는 다루지 않기 때문에, 다른 방법을 이용해야 합니다.
한편, 이차방정식의 근을 판별할 때, 두 도형의 위치 관계를 이용해서 구할 수도 있습니다. 따라서, 삼차방정식 또는 사차방정식의 근을 판정하기 위해서, 마찬가지로 이용이 가능합니다. 즉,
방정식 \(f(x)=0\)의 실근의 개수는
\(\quad\)함수 \(y=f(x)\)의 그래프와 \(x\)-축과의 교점의 개수
로 구할 수 있습니다.
다른 형태에서, 방정식 \(f(x)=g(x)\)의 실근의 개수는
\(\quad\)함수 \(y=f(x),\;y=g(x)\)의 그래프의 교점의 개수
로 구할 수 있습니다. 그러나, 주어진 두 함수가 다항함수일 경우에는 이미 그래프의 개형이 충분히 알려져 있으므로, 한쪽 변으로 옮겨 위의 방법을 이용하는 것이 바람직합니다.
한편, 나중에 배우는 초월함수는 주어진 방정식에서 왼쪽과 오른쪽 그래프를 적절히 나누는 것이 보다 중요한데, 왜냐하면 주어진 방정식에서 한쪽 변으로 식을 전부 옮기는 것이 그래프의 개형을 그리는 과정을 더욱 어렵게 만들 수 있기 때문입니다.

삼차방정식의 근의 판별

삼차방정식의 근은 3개입니다. 여기서 실근과 허근의 개수를 파악해 보고자 합니다.
어쨌든, 근 자체를 구하지 않고, 근을 판정하기 위해서는 그래프의 개형을 이용하는 것이 편합니다.
한편, 삼차방정식은 선행 계수의 부호를 정한 후에, 도함수의 근의 개수에 따라, 3개의 그래프의 개형을 그릴 수 있습니다.
이때, 도함수의 근이 1개(중근), 또는 허근일 때에는 그래프의 개형이 증가함수이므로, 무조건 1개의 실근을 갖고, 나머지 2개는 허근입니다.
그러므로, 삼차방정식의 근의 판별은, 주로 그의 도함수의 근이 서로 다른 2개의 실근을 가질 때, 실근의 개수를 구하는 일입니다.

먼저, 선행 계수가 양수이면, 극댓값과 극솟값의 사이로  \(x\)축이 지나갈 때, 서로 다른 3개의 실근을 가집니다. 이때,
\(\quad\)극댓값 > 0, 극솟값 < 0
와 같이 부등식을 만들어도 좋겠고, 아니면
\(\quad\)(극댓값) × (극솟값) < 0
와 같이 부등식을 만들어도 좋겠습니다.

다음으로, 극댓값 또는 극솟값으로 \(x\)-축이 지날 때, 서로 다른 2 실근, 즉, 1개의 실근과 1개의 (이)중근 실근을 가집니다. 이때,
\(\quad\)극댓값 > 0, 극솟값 = 0 또는 극댓값 = 0, 극솟값 < 0
와 같이 식을 만들어도 좋겠고, 아니면, 하나로 합쳐서
\(\quad\)(극댓값) × (극솟값) = 0
와 같이 식을 만들어도 좋겠습니다.

마지막으로, 극댓값 보다 큰 쪽으로 또는 극솟값보다 작은 쪽으로 \(x\)-축이 지날 때, 1개의 실근과 2개의 허근을 가집니다. 이때,
\(\quad\)극댓값 > 0, 극솟값 > 0 또는 극댓값 < 0, 극솟값 < 0
와 같이 식을 만들어도 좋겠고, 아니면, 하나로 합쳐서
\(\quad\)(극댓값) × (극솟값) > 0
와 같이 식을 만들어도 좋겠습니다.
한편, 선행 계수의 부호가 음수이면, 위쪽 식은 부등호의 방향이 바뀔 수 있을지라도, 아래쪽 식은 그대로 사용할 수 있습니다.
어쨌든, 보다 복잡한 조건의 문제를 풀기 위해서는, 식 자체를 외워서 접근하는 것보다는, 그래프의 개형을 그려서, 어떤 경우가 문제의 조건을 만족하는지 \(x\)-축, \(y\)-축을 그리는 것이 중요합니다. 더구나, 사차방정식의 근을 판별은 종류가 많아져서 별도로 식을 외웠다가 풀지는 않습니다.

부등식에의 활용

이차함수에서, \(f(x)>0\)임을 증명하는 것은 그이 최솟값이 영보다 큼을 보이는 것과 같습니다. 이때, 주어진 문자에 대해서, 선행 계수가 양수이고, 판별식이 음수여야 합니다.
삼차 이상의 다항함수에 대해서, 부등식 \(f(x)>0\) 또는 \(f(x) \ge 0\)가 성립함을 증명하기 위해, 마찬가지로 함수 \(y=f(x)\)의 최솟값이 영보다 큼을 보이면 됩니다.
또한, 부등식 \(f(x)>g(x)\)가 성립함을 증명하기 위해, \(f(x)-g(x)>0\)으로 바꾸어서, \(y=f(x)-g(x)\)의 최솟값이 영보다 큼을 보이면 됩니다.
한편, 부등식 \(f(x) < 0\)가 성립함을 증명하기 위해, \(y=f(x)\)의 최댓값이 영보다 작음을 보이면 됩니다.
이것으로부터, 그렇지 않은 것이 좋겠지만, 선행 계수가 음수인 경우에 대해 실수가 자주 발생한다면, 선행 계수가 양수가 되도록 부등식을 바꾸어서 생각하는 것도 하나의 방법입니다.
그리고, 이차함수와는 다르게, 무조건 한쪽 변을 영으로 만들 이유는 없는데, 왜냐하면, 이차함수는 이차함수의 판별식이 별도로 존재하지만, 삼차 이상은, 어쨌든, 그래프의 개형으로 문제를 풀기 때문에, 조금 다른 사고가 필요합니다. 예제에서 확인하십시오!!

삼차함수

삼차함수는 최솟값이나 최댓값이 존재하지 않기 때문에, 위와 같은 경우의 문제를 만들 수 없습니다. 
따라서, 구간의 제한을 통해, 예를 들어, \(x>a\)인 범위에서 부등식 \(f(x)>0\)이 성립함을 증명하는 문제로 바뀌면, 그래프의 개형에 따라,

• 주어진 구간에서 \(f(x)\)가 증가함수이면, \(x=a\)에서 최솟값을 가지므로, \(f(a) \ge 0\)임을 보이면 됩니다. 여기서, 등호의 유무를 주의해야 합니다!!
• 주어진 구간에서 증감이 변하면, \(y=f(x)\)의 최솟값이 영보다 큼을 보이면 됩니다.

기본예제

기본예제1

모든 실수 \(x\)에 대하여 부등식 \(2x^4-3x^2 \ge x^2+k\)가 성립하도록 하는 실수 \(k\)의 값의 범위를 구하여라.
해설: 위와 같이 \(2x^4-4x^2-k \ge 0\)와 같이 바꾸어서 생각하는 것이 좋은 방법인지는 의문입니다. 
이것보다는 \(2x^4-4x^2 \ge k\)로 두고 생각하는 것이 보다 편합니다. 즉, \(y=2x^4-4x^2,\;y=k\)로 두고, \(f(x)=2x^4-4x^2\)의 최솟값보다 \(k\)가 작거나 같음을 보이는 것이 이전의 최댓값 및 최솟값을 구하는 것에서 \(x\)-축을 그리는 것과 비슷한 형태로 생각할 수 있으므로, 보다 편안할 것으로 기대됩니다.
먼저, \(f(x)=2x^4-4x^2\)의 도함수의 근을 구하면,
\(\quad\)\(f'(x)=8x^3-8x=8x(x^2-1)=0\)
\(\quad\)\(x=0\;\mbox{or}\;x=-1\;\mbox{or}\;x=1\)
사차함수의 그래프의 개형으로부터 최솟값은 극솟값이 나오는 \(x=-1\;\mbox{or}\;x=1\)에서 발생합니다. 그러므로,
\(\quad\)\(f(-1)=-2,\;f(1)=-2\)
따라서, 최솟값은 –2이고, \(y=k\)의 그래프는 최솟값의 아래쪽에 그려져야 하므로, \(k \le -2\)입니다.
주의해야 할 점) 부등식 \(2x^4-3x^2 \ge x^2-k\)와 같이 주어지면, \(2x^4-4x^2 \ge -k\)와 같이 생각할 수도 있고, \(k \ge -2x^4+4x^2\)으로 생각할 수도 있습니다. 첫 번째 경우에는 오른쪽 변에 \(-k\)가 있음에 주의해야 하고, 두 번째 경우는 선행 계수가 음수이므로, 그래프의 개형을 그릴 때 주의해야 합니다.

기본예제2

모든 양수 \(x\)에 대하여 부등식 \(x^3-6x^2+k \ge 0\)이 성립하는 상수 \(k\)의 값의 범위를 구하여라. 

해설: 가능한 변수에 음의 부호를 두는 것을 피하는 것이 좋은데, 왜냐하면 경험으로 볼 때, 이 부분에서 실수가 발생할 확률이 높기 때문입니다. 
먼저, \(x > 0\)에서 부등식 \(k \ge -x^3+6x^2\)이 성립하는 경우로 바꾸는 것이 좋겠습니다.
이제, \(f(x)=-x^3+6x^2\)의 그래프의 개형을 그리려면,
\(\quad\)\(f'(x)=-3x^2+12x=-3x(x-4)\)
\(\quad\)\(x=0\;\mbox{or}\;x=4\)
따라서, 최댓값은 \(x=4\)에서 발생하고, \(f(4)=32\)이므로, \(k \ge 32\)입니다.

응용예제

응용예제1

다음 조건을 만족하는 삼차함수 \(f(x)\)에 대하여 \(\frac{f'(1)}{f(1)}\)의 최댓값은?
\(\quad\)(가) 함수 \(f(x)\)의 최고차항의 계수는 1이다.
\(\quad\)(나) 함수 \(|f(x)|\)는 \(x=0\)에서만 미분가능하지 않다.
\(\quad\)(다) 함수 \(f(x)=0\)은 닫힌 구간 \([4,6]\)에서 적어도 하나의 실근을 갖는다.