속도와 가속도(미적분1)

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Main articles: Velocity and Acceleration

현대 미적분학은 뉴턴과 라이프니츠가 독립적으로 개발되었다고 알려져 있으며, 뉴턴은 물리학에 미적분학을 처음으로 적용한 사람입니다. 뉴턴이 미적분학을 적용했던 물리학의 가장 기초에 해당하는 부분이 위치, 속도, 가속도의 개념입니다.

위치, 속도, 가속도는 벡터이므로, 굵은 글씨를 사용하거나, 보통 글씨 위에 화살표를 사용하는 표기법을 사용해야 합니다. 그러나, 일-차원, 즉 직선 운동에서, 그의 방향을 미리 결정하기 때문에, 스칼라와 마찬가지의 표기법을 사용하기도 합니다. 어쨌든, 이 부분은 혼동을 일으킬 수 있으므로, 처음 배우는 학생들에게 반드시 충분한 주의를 주어야 합니다.

비록 그렇다 하더라도, 방향을 결정하지 않으면, 예를 들어, 중력가속도의 크기는 \(9.8 (m/s^2)\)이고, 그의 방향이 떨어지는 방향을 기준으로 할 때에는 (앞의 단위를 사용하면) 9.8이지만, 지면에서 위로 가는 것을 방향으로 정하면, –9.8이 될 것입니다.

보통 교과서 또는 참고서에서, 진행 방향을 단위 벡터의 방향이라고 설명하거나, 좌표축의 방향이 벡터의 방향이라고 소개하지만, 위의 중력가속도의 경우처럼 그의 부호가 달라질 수 있고, 만약 처음 \(x\)-축의 음의 방향으로 진행했다면 의도와 다른 결과를 낳을 수 있으므로, 방향에 대해 미리 결정을 한 후에 설명을 해야 합니다.

이 기사는 좌표축의 진행방향을 단위 벡터의 진행방향으로 생각합니다.

속도

일반적으로 직선 운동을 하는 물체에 대해, 단위 벡터의 방향을 좌표축의 진행 방향으로 결정하면,

점 \(\mathrm{P}\)의 시간 \(t\)에서의 위치를 좌표 \(x\)로 나타내면, 위치 \(x\)는 시간 \(t\)의 함수입니다. 

이 함수를 \(x=f(t)\)로 나타내면, 시간 \(t\)에서 \(t+\Delta t\)까지 점 \(\mathrm{P}\)의 평균변화율은, 그의 정의에 따라,

\(\quad\)\(\displaystyle \frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{f(t+\Delta t)-f(t)}{\Delta t}\)

로 나타낼 수 있고, 그 시간 동안의 점 \(\mathrm{P}\)의 평균 속도라고 말합니다.

이때, 그 시간의 간격을 무한히 줄이면, 즉, \(\Delta t \to 0\)일 때의 평균변화율의 극한값은, 그의 정의에 따라, 시각 \(t\)에서의 위치 \(x\)의 순간변화율로써, 점 \(\mathrm{P}\)의 순간속도 또는 줄여서 속도라고 말합니다.

\(\quad\)\(\displaystyle \frac{dx}{dt}=\lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta x}{\Delta t}=\lim_{\Delta t \to 0}\frac{f(t+\Delta t)-f(t)}{\Delta t}\)

보다 일반적으로, 속도는 벡터량이므로,

\(\quad\)\(\displaystyle \vec{v} = \lim_{{\Delta t}\to 0} \frac{\Delta \vec{x}}{\Delta t} = \frac{d\vec{x}}{d\mathit{t}}=f'(t)\)

이때, 속도의 절댓값 \(|\vec{v}|\)를 시각 \(t\)에서의 점 \(\mathrm{P}\)의 속력이라고 합니다.

속력은 속도의 절댓값이므로, 비록 직선 운동일지라도, 속력은 비-음의 실수이고, 속도는 음의 값을 가질 수 있습니다. 즉, 속도가 음의 값을 가지게 되면, 운동 방향으로 결정해 둔 좌표축의 진행 방향과 반대로 운동하고 있음을 의미합니다. 보통 \(x\)-축의 진행 방향이 오른쪽이므로, 이런 상황에서 음의 속도는 왼쪽 방향으로 진행하고 있음을 의미합니다.

가속도

속도가 일정한 경우도 있겠지만, 속도는 위치와 마찬가지로 시간에 따라 변할 수 있으므로, 시간의 함수이고, 이 함수를 \(v=v(t)\)로 나타내면, 시각 \(t\)에서의 순간변화율은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다:

\(\quad\)\(\displaystyle v'(t)=\lim_{\Delta t \to 0}\frac{v(t+\Delta t)-v(t)}{\Delta t}=\frac{dv}{dt}\)

이때, \(v'(t)\)는 시각 \(t\)에서의 가속도라고 불리고, \(a\)로 나타냅니다.

보다 일반적으로 가속도는 벡터량이므로,

\(\quad\)\(\displaystyle \vec{a} = \lim_{{\Delta t}\to 0} \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t} = \frac{d\vec{v}}{d\mathit{t}}=v'(t)\)