넓이(미적분1)

원문 보기: https://dawoum.duckdns.org/wiki/넓이(미적분1)

구분구적법은 곡선으로 이루어진 도형의 넓이를 구하기 위해서, 그리고 이후에 구간에서 곡선 함수와 x-축 사이의 넓이를 구할 목적으로 개발이 되었고, 그리고 미적분학의 또 다른 개발자 뉴턴은 미적분학을 물리학에 처음으로 적용했습니다.

정적분의 응용 분야 중에서 가장 기본적인 것은 마찬가지로 넓이와 위치와 거리 등일 것입니다.

곡선과 x-축 사이의 넓이

함수에 대한 정적분과 넓이의 차이는 정적분은 음수를 가질 수 있지만, 넓이는 항상 양수라는 점입니다.

먼저, 정적분의 정의를 보면,

함수 \(f(x)\)가 닫힌 구간 \([a, b]\)에서 연속일 때, 다음 극한값을 함수 \(f(x)\)의 \(a\)에서 \(b\)까지의 정적분이라고 합니다.

\(\quad\)\(\displaystyle \int_a^b f(x)dx=\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x\)

\(\quad\)여기서 \(\displaystyle \Delta x = \frac{b-a}{n},\;x_k=a+k\Delta x\)입니다.

일반적으로, 아래끝과 위끝에서 \(a<b\)이면,

• 밑변에 해당하는 \(\Delta x > 0\)이므로,
• \(n \to \infty\)일 때, \(dx > 0\)입니다.

이때, 높이에 해당하는 함숫값이 양수이면, 밑변과 높이의 곱이 양수이기 때문에, 구간에서 함수와 \(x\)-축 사이의 정적분의 결과는 넓이와 같습니다.

\(\quad\)\(\displaystyle S=\int_a^b f(x)dx\)

반면에, 높이에 해당하는 함숫값이 음수이면, 밑변과 높이의 곱이 음수이기 때문에, 구간에서 함수와 \(x\)-축 사이의 정적분의 결과는 절댓값은 같지만, 부호는 반대입니다. 따라서 정적분의 결과에 –1을 곱하거나, 절댓값을 취하면 넓이와 같아집니다.

\(\quad\)\(\displaystyle S=-\int_a^b f(x)dx\) 또는

\(\quad\)\(\displaystyle S=\left|\int_a^b f(x)dx\right|\) 또는

\(\quad\)\(\displaystyle S=\int_a^b |f(x)|dx\) 등등

다른 경우에서, 구하려는 구간 안에서 그래프가 \(x\)-축을 가로지르면, 높이에 해당하는 함숫값의 부호가 달라지므로, 함숫값이 양수인 부분과 음수인 부분으로 나누어 정적분을 수행하고, 그 결과를 위의 식을 참조해서 구합니다. 즉,

\(\quad\)\(\displaystyle S_1=\int_a^c f(x)dx\)

\(\quad\)\(\displaystyle S_2=\int_c^b \left\{-f(x)\right\}dx\)

\(\quad\)\(\displaystyle  \begin{align}
S & = S_1+S_2 \\
& = \int_a^c f(x)dx+\int_c^b \left\{-f(x)\right\}dx \\
& = \int_a^c |f(x)|dx+\int_c^b |f(x)|dx \\
& = \int_a^b |f(x)|dx \\
\end{align}\)

위의 모든 경우에서, 높이에 해당하는 \(dx>0\)를 양수로 만들고, 그의 함숫값을 양수를 만들어서 넓이를 구할 수 있습니다.

따라서, 함수 \(y=f(x)\)가 구간 \([a, b]\)에서 연속일 때, 함수 \(y=f(x)\)와 \(x\)-축 및 두 직선 \(x = a\), \(x = b\)로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S\)는 다음과 같이 표현할 수 있습니다:

\(\quad\)\(\displaystyle S=\int_a^b |f(x)|dx\)

식은 하나로 표현할 수 있지만, 실제로는 경우에 따라 나누어서 넓이를 구합니다.

함수와 y-축 사이의 넓이

함수와 \(x\)-축 사이의 넓이를 구하는 방법과 같은 방법을 이용해서 함수와 \(y\)-축 사이의 넓이를 구할 수 있습니다.

구간 \([c, d]\)에서 연속인 함수 \(x=f(y)\)와 \(y\)-축 및 두 직선 \(y=c,\;y=d\)로 둘러싸인 도형의 넓이는
\(\quad\)\(\displaystyle S=\int_c^d |f(y)|dy\)

이때, 아래끝과 위끝은 이전과 마찬가지로 작은 값을 아래끝에 둠으로써 \(dx\)를 양수로 만들고, 함숫값은 음수가 될 수 있으므로, 절댓값을 쉬워서 양수를 만듭니다.

두 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이

곡선과 축 사이의 넓이를 구할 때, 구간에서 축 위 또는 아래에 곡선이 존재하는 경우, 즉, 함숫값의 부호가 각각 양수, 음수인 경우와 축을 가로지르는 경우, 즉, 함숫값의 부호가 바뀌는 경우로 나누어서 알아보았습니다.

두 곡선 사이의 넓이를 구할 때에도, 주어진 구간에서 하나의 함숫값이 다른 함숫값보다 항상 큰 경우와 대소 관계가 바뀌는 경우로 나누어서 생각해야 합니다.

그럼처럼, 구간 \([a, b]\)에서 연속인 두 함수 \(y=f(x),\;y=g(x)\)와 두 직선 \(x=a,\;x=b\) (\(a < b\))로 둘러싸인 도형의 넓이는 주어진 구간에서 \(y=f(x)\)의 함숫값이 \(y=g(x)\)의 함숫값보다 항상 크기 때문에, 주어진 구간에서 \(y=f(x)\)와 \(x\)-축 사이의 정적분에서 \(y=f(x)\)와 \(x\)-축 사이의 정적분의 차이입니다. 즉,

\(\quad\)\(\displaystyle \begin{align}
S & =\int_a^b f(x)dx - \int_a^b g(x)dx \\
& = \int_a^b \{f(x)-g(x)\}dx
\end{align}\)

한편, 구분구적법으로 생각해 보면, 구간 안의 어떤 \(x_k\)에서 높이는 \(f(x_k)-g(x_k)\)이므로, 정적분의 차이로 이해하는 것보다, 직접, 구분구적법에서 정적분의 정의에 해당하는 부분을 다음처럼 식으로 이끌어낼 수 있습니다.

\(\quad\)\(\displaystyle S=\int_a^b \{f(x)-g(x)\}dx\)

게다가, 이 경우에서, 그래프가 항상 위에 있기 때문에, 높이에 해당하는 부분이 항상 양수이므로, 정적분이 바로 넓이와 같습니다.

물론, 두 그래프가 서로 가로지르는 경우, 즉 두 함숫값의 대소 관계가 바뀌는 경우에서, 높이에 해당하는 부분의 식이 서로 바뀌기 때문에, 두 함수로 둘러싸인 도형의 일반적인 넓이식은

\(\quad\)\(\displaystyle S=\int_a^b |f(x)-g(x)| dx\)

이차함수의 그래프와 넓이

다항함수의 정적분을 구하는 과정에서, 그의 부정적분을 구하는 과정이 모두 같은 공식을 이용하기 때문에 매우 간단하지만, 실제 숫자를 대입해서 계산하는 것이 귀찮을 수도 있습니다. 그래서 자주 사용하는 모양의 공식을 알아둘 필요가 있습니다.

이차함수와 축으로 둘러싸인 넓이는 이차함수와 서로 다른 두 실근을 가질 때에만 발생합니다.

이차함수 \(f(x)=a(x-\alpha)(x-\beta)\)의 그래프는 \(x\)-축과 두 점 \((\alpha,0),\;(\beta,0)\) (\(\alpha<\beta\))에서 만납니다. 이때, 이차함수의 그래프와 \(x\)-축으로 둘러싸인 도형의 넓이는 다음과 같이 구해집니다.

\(\quad\)\(\begin{align}
S & =\int_{\alpha}^{\beta} |f(x)|dx \\
& = \int_{\alpha}^{\beta} |a(x-\alpha)(x-\beta)|dx \\
& = \int_\alpha^{\beta} |a(x^2-(\alpha+\beta)x + \alpha \beta|dx \\
& = \int_\alpha^{\beta} \left|a\left[\frac{1}{3}x^3-\frac{\alpha+\beta}{2} x^2+\alpha\beta x\right]_\alpha^\beta\right| \\
& = \frac{|a|}{6}(\beta-\alpha)^3 \\
\end{align}\)

대입해서 정리하면, 위의 결과 식을 얻을 수 있습니다.

이차함수와 직선으로 둘러싸인 넓이

이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계에서, 이차함수와 직선의 교점을 이차함수와 \(x\)-축과의 교점으로 일반화할 수 있음을 알아보았습니다.

이차함수와 직선으로 둘러싸인 넓이도 마찬가지로 생각할 수 있습니다. 즉, \(y=a_1 x^2+b_1 x + c_1\)와 \(y=mx+n\)으로 둘러싸인 넓이는, 어쨌든, 두 방정식의 연립방정식이 서로 다른 두 실근을 가질 때에 둘러싸인 영역이 나오고, 연립방정식

\(\quad\)\(a_1 x^2+b_1 x + c_1 = mx+n\;\;\{\alpha,\beta\}\)
은

\(\quad\)\(a_1 x^2+(b_1-m)x+c_1-n=0\;\;\{\alpha,\beta\}\)

으로, 이차함수와 \(x\)-축으로 둘러싸인 넓이로 생각할 수 있습니다.

예를 들어, \(y=x^2\)과 \(y=4x-3\)로 둘러싸인 넓이는 \(y=x^2-4x+3\)과 \(x\)-축으로 둘러싸인 넓이로 생각할 수 있습니다. 따라서,

\(\quad\)\(\displaystyle S=\int_1^3 (x^2-4x+3)dx=\frac{1}{6}(3-1)^3\)

두 이차함수로 둘러싸인 넓이

이차함수와 직선으로 둘러싸인 넓이와 마찬가지로 두 이차함수로 둘러싸인 넓이도, 하나의 이차함수로 만들어서, \(x\)-축과 둘러싸인 넓이로 생각할 수 있습니다. 즉, 두 이차함수 \(y=a_1 x^2+b_1 x+c_1,\;y=a_2 x^2+b_2 x+c_2\) (\(a_1 \neq a_2\))로 둘러싸인 넓이는 연립방정식

\(\quad\)\(a_1 x^2+b_1 x+c_1 = a_2 x^2+b_2 x+c_2\;\;\{\alpha,\beta\}\)
은

\(\quad\)\((a_1-a_2) x^2+(b_1-b_2) x+(c_1-c_2) = 0\;\;\{\alpha,\beta\}\)

와 같이 이차함수와 \(x\)-축으로 둘러싸인 넓이로 생각할 수 있습니다.
여기서 조심해야 할 것은 이차항의 계수는 반드시 \(a_1-a_2\)를 사용해야 한다는 점입니다. 근을 구할 때에는 연립방정식이므로, 약분을 해서 구하지만, 두 이차함수로 둘러싸인 도형의 넓이를 이차함수와 x-축으로 둘러싸인 도형의 넓이로 구할 때에는 약분이 되지는 않고, 변을 이동할 뿐입니다.

예를 들어, 두 이차함수 \(y=x^2-6x+10,\;y=-x^2+4x+2\)로 둘러싸인 도형의 넓이는

\(\quad\)\(x^2-6x+10=-x^2+4x+2\)

\(\quad\)\(2x^2-10x+8=0\)

\(\quad\)\(x^2-5x+4=0\)
\(\quad\)\(x=1\) 또는 \(x=4\)

따라서, \(\displaystyle S=\frac{2}{6}(4-1)^3=9\)입니다.

삼차함수의 그래프의 대칭성과 넓이

삼차함수의 그래프의 개형은 도함수가 영이 되는 개수에 따라 세 가지로 나누어집니다.

• 도함수가 영이 되는 점이 2개 존재할 때에는 두 점의 중점이 삼차함수의 대칭의 중심이고,
• 도함수가 영이 되는 점이 1개 존재할 때에는 그 점 자체가 대칭의 중심이며, 여기까지 변곡점이 존재하고, 변곡점이 대칭의 중심입니다.
• 도함수가 영이 되는 지점이 존재하지 않을 때에는 삼차함수에 대해 기울기가 같은 두 접선의 접점의 중점이 대칭의 중심입니다. 마지막은 변곡점이 존재하지 않지만, 대칭의 중심은 이와 같은 방법으로 구할 수 있습니다.

따라서, 대칭의 중심을 지나는 직선과 삼차함수로 둘러싸인 도형은 2개가 만들어지고, 각각의 넓이는 서로 같습니다. 따라서, 대칭의 중심을 제외한 두 점에서의 정적분은 영입니다.

게다가, 이차함수와 마찬가지로, 삼차함수와 직선으로 둘러싸인 넓이는 삼차함수와 \(x\)-축으로 둘러싸인 넓이로 바꾸어 생각할 수 있습니다. 이때, \(x\)-축도 \(y=0\)이라는 직선으로 생각해도 좋겠습니다.

그림에서 \(\displaystyle \frac{\alpha+\beta}{2}=0\)를 만족하면, 삼차함수 \(y=f(x)\)와 직선 \(y=g(x)\)에 대해,

\(\quad\)\(\displaystyle \int_\beta^\alpha \{f(x)-g(x)\}dx = 0\)

일반적으로는 교점의 중간이 원점이 아니므로, 그림과 같이 삼차함수와 직선이 세 점에서 만나면, 양쪽 끝의 두 교점의 중점이 중간의 교점과 같아집니다.

만약, 그림의 넓이는 같은 넓이가 2개이므로,

\(\quad\)\(\displaystyle \begin{align}
S & =\int_\alpha^\beta |f(x)-g(x)|dx \\
& = 2 \int_0^\alpha \{g(x)-f(x) \}dx \\
\end{align}\)

구간 \([0, \alpha]\) 사이에 함숫값의 차이를 양수로 만들기 위해, \(g(x)-f(x)\)를 선택해야, 해당 구간에서, 정적분과 넓이와 같아집니다.

응용예제

응용예제1

두 함수 

\(\quad\)\(\displaystyle f(x)=\frac{1}{3}x(4-x),\;g(x)=|x-1|-1\)

의 그래프로 둘러써인 부분의 넓이를 \(S\)라 할 때, \(4S\)의 값을 구하시오. [4점] [2020학년도 수능 나형 26번]

응용예제2

함수 \(f(x)=2x^3-3x^2-12x+5\)에 대하여 \(-1 \le x \le t\)에서 \(|f(x)|\)의 최댓값을 \(g(t)\), \(1 \le x \le s\)에서 \(|f(x)|\)의 최댓값을 \(h(s)\)라고 할 때, \(\displaystyle \int_{-1}^0 g(t)dt+\int_1^3 h(s)ds+\frac{15}{2}\)의 값을 구하시오. (단, \(-1\le t,\;1 \le s\))