두 점 사이의 거리(수학1)

원문 보기: https://dawoum.duckdns.org/wiki/두_점_사이의_거리(수학1)

Main article: Euclidean_distance

직교 좌표계에서 두 점 사이의 거리는 최단 거리를 말하며, 물리량이므로 음의 값을 가질 수 없습니다. 또한 직선이 어느 공간에 놓여있는지에 따라 두 점 사이의 거리를 구하는 식이 다르게 표현됩니다.

수직선 위의 두 점 사이의 거리

수직선 위에서는 한 개의 변수만이 존재합니다. 오른쪽에 있는 값이 항상 크므로 수직선 위에 점이 표시되어 있을 때에는 오른쪽의 좌표에서 왼쪽의 좌표를 뺀 값이 거리입니다.

그러나, 수직선에 표시를 하지 않는 경우에는, 두 점 \(\mathrm{A}(x_1), \mathrm{B}(x_2)\) 사이의 거리는 다음과 같이 표현됩니다.

• \(x_1\geq x_2\)일 때, \(\mathrm{AB}=x_1-x_2\)
• \(x_1 < x_2\)일 때, \(\mathrm{AB}=x_2-x_1\)

어느 값이 더 오른쪽에 있는지 알지 못하기 때문에 경우에 따라서 표현식이 달라집니다.

위의 경우는 절댓값을 사용해서 아래와 같이 간단히 나타낼 수 있습니다.

\(\quad\)\(\mathrm{AB}=|x_2-x_1|=|x_1-x_2|\)

좌표평면 위의 두 점 사이의 거리

좌표 평면에서는 한 점이 2개의 변수로 표현이 됩니다.

두 점 \(\mathrm A(x_1, y_1), \mathrm B(x_2,y_2)\) 사이의 거리는 피타고라스 정리로 구해집니다. 오른쪽 그림과 같이 \(\mathrm{A,B}\)에서 각각 \(x,y\)축으로 평행한 직선을 그었을 때 \(\mathrm C\)에서 만나게 됩니다.

여기서 \(\triangle \mathrm{ABC}\)는 직각삼각형이므로, 피타고라스 정리에 의해 다음이 성립합니다.

\(\quad\)\(\mathrm{AB}^2=\mathrm{BC}^2+\mathrm{CA}^2\)

선분 \(\mathrm{BC}, \mathrm{CA}\)는 수직선 사이의 거리에 해당되므로 다음과 같이 구해집니다.

\(\quad\)\(\mathrm{BC}=y_2-y_1, \mathrm{CA}=x_2-x_1\)

기하학적으로 표시가 되어 있으므로 절댓값 기호를 사용할 필요가 없습니다.

이 식을 피타고라스 정리에 대입을 해서, 좌표평면 위에서 두 점 사이의 거리를 구해냅니다.

\(\quad\)\(\mathrm{AB}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\)

물리량이므로 음의 제곱근이 무시됩니다. 또한, 두 좌표의 차이를 제곱할 것이므로 반드시 큰 좌표에서 뺄 필요는 없는데, 단지 부호를 조심해서 계산해야 합니다.

응용예제

응용예제1

두 점 \(\mathrm A(2,3), \mathrm B(6,1)\)과 \(x\)축 위의 점 \(\mathrm P\)에 대하여 \(\mathrm{AP+BP}\)의 최솟값을 구하여라.

응용예제2

좌표평면 위의 두 점 \(\mathrm A(1,4), \mathrm B(5,1)\)에 대하여, 두 점 \(\mathrm P, \mathrm Q\)가 각각 \(x\)축, \(y\)축 위를 움직일 때, \(\mathrm{AQ+QP+PB}\)의 최솟값을 구하여라.

응용예제3

그림과 같이 좌표평면 위에 두 직선이 놓여 있습니다.

\(\quad\)\(l:2x-y-1=0,\;m=2x-3y+6=0\)

두 직선 사이에 있는 점 \(\mathrm{P}\)를 지나고 \(x\)-축에 수직인 직선이 \(l,m\)과 만나는 점을 각각 \(\mathrm{A,B}\)라 하고, \(y\)-축에 수직인 직선이 \(l,m\)과 만나는 점을 각각 \(\mathrm{C,D}\)라 하자. 삼각형 \(\mathrm{PAD}\)의 면적을 \(S_1\), 삼각형 \(\mathrm{PBC}\)의 면적을 \(S_2\)라 할 때, \(\frac{S_1}{S_2}\)의 값은?

응용예제4

좌표평면 위의 네 점 \(\rm A(1,1)\), \(\rm B(5,1)\), \(\rm C(5,5)\), \(\rm A(1,5)\)에 대하여, 두 선분 \(\overline{\rm{AC}}\),  \(\overline{\rm{BD}}\)로 이루어진 도형을 \(S\)라 하자. 아래 조건을 만족시키는 점 \(\rm P\)가 나타내는 도형의 넓이는 \(a+b\sqrt{2}+c\pi\)일 때, \(a+b+c\)의 값은? (단, \(a,b,c\)는 모두 정수이다.)

\(\quad\)조건: 도형 \(S\) 위의 임의의 점과 점 \(\rm P\) 사이의 거리의 최솟값은 1이다.