두 도형의 교점을 지나는 방정식

원문 보기: https://dawoum.duckdns.org/wiki/두_도형의_교점을_지나는_방정식

평면도형에서 그릴 수 있는 도형은 직선, 원, 이차곡선 (포물선-이차함수, 타원, 쌍곡선) 등이 있습니다. 여기서 두 도형의 교점을 지나는 새로운 방정식을 구하고 싶을 때에는 어떤 방법이 있을까요?

먼저, 각 도형의 방정식 편에서 지나가는 점이 주어졌을 때, 표준형이나 일반형에 대입해서, 해당 도형의 방정식을 구하는 방법이 소개되어 있습니다. 그러기 위해서는 교점을 구해야 하는데, 고등학교 교과과정에서는 오직 실수축을 다루기 때문에, 교점을 구하는 것은 연립방정식의 실근을 구하는 것과 같습니다. 만약 교점이 무리수가 나오게 되면, 대입해서 계수를 구하는 것이 쉬운 일은 아닙니다.

반면에 항등식의 개념을 이용해서 두 도형의 교점을 지나는 방정식을 만들 수 있습니다. 먼저 두 도형을 반드시 일반형으로 만듭니다.

\(\quad\)\(\left\{\begin{align}
f(x,y)=0 & &\cdots(1) \\
g(x,y)=0 & &\cdots(2)
\end{align}\right.\)

두 도형의 교점을 지나는 방정식은 다음의 2가지로 만들 수 있습니다.

• \(f(x,y)+k \cdot g(x,y)=0\)
• \(g(x,y)+h \cdot f(x,y)=0\)

여기서, \(k, h\)는 실수입니다.

위의 두 식은 임의의 실수 \(k,h\)에 대한 항등식으로 해석할 수 있으므로, 처음에 주어진 두 도형의 방정식의 일반형의 연립방정식과 동등한 결과를 낳습니다. 즉, \(k,h\)의 값에 따라 도형이 결정되므로, 오직 \(k,h\)의 값을 구하면, 두 도형의 교점을 지나는 방정식을 구할 수 있습니다. 

이런 접근의 장점은 교점을 구할 필요가 없는 것은 물론이고, 이후에 발생하는 계수 사이의 연립방정식 역시 구할 필요가 없다는 것입니다.

이런 접근에서 \(k,h\)의 값을 아무리 변화시키더라도 그리지 못하는 도형이 발생할 수 있습니다.

이때, 교점을 지나는 방정식을 \(f(x,y)+k \cdot g(x,y)=0\)으로 만들고, 먼저 \(k=0\)이면, \(f(x,y)=0\)의 결과를 낳기 때문에, 그 도형을 그릴 수 있습니다. 그렇지만, \(k\)를 아무리 변화시켜도 \(g(x,y)=0\)의 방정식은 만들 수 없기 때문에, 해당 도형은 그릴 수 없습니다. 

다른 측면에서, \(k\)가 구해져야 하므로, 미지수로 생각하고, \(f(x,y)\)와 \(g(x,y)\)는 특정 값 \(x, y\)가 대입되면, 상수로 생각할 수 있습니다. 즉, \(k\)에 대한 일차방정식의 해를 구하는 것과 동등하게 생각할 수 있습니다. 이제 일차방정식을 풀면,

\(\quad\)\(k\cdot g(x,y)=-f(x,y) \)

\(\quad\)\(\displaystyle k=-\frac{f(x,y)}{g(x,y)}\)

여기서 첫 번째 식은 덧셈의 역원을 양변에 더한 것으로, 언제나 가능합니다. 반면에 두 번째 줄은, \(g(x,y) \neq 0\)일 때, 양쪽 변에 곱셈에 대한 역원을 곱하는 것입니다.
따라서, \(k\)를 결정하기 위해, \(g(x,y) \neq 0\)이라는 조건이 반드시 필요합니다. 즉, \(g(x,y) = 0\)일 때, \(k\)를 결정할 수 없으므로, 해당 도형을 그릴 수 없습니다. 일차방정식에서는 불능과 부정에 해당합니다.

두 직선의 교점을 지나는 직선의 방정식

두 원의 교점을 지나는 방정식

응용예제

응용예제1

세 집합

\(\quad\)\(A=\left\{(x,y)|x^2+y^2+4x+4y-11=0\right\}\)

\(\quad\)\(B=\left\{(x,y)|5x+y+2=0\right\}\)

\(\quad\)\(C=\left\{(x,y)|x^2+y^2+ax+by+c=0\right\}\)

에 대하여 \(\left(A \cap B\right) \subset C\)와 \((3,4) \in C\)를 만족시킬 때, \(a+b+c\)의 값은? (단, \(a,b,c\)는 실수이다.)