평행이동

평행이동은 점이나 도형을 회전 없이 일정한 방향으로 평행하게 옮기는 것을 말합니다.

이런 효과를 나타내기 위해서 좌표축을 평행이동시킬 수도 있지만, 여기서는 다루지 않습니다.

점의 평행이동

오른쪽 그림처럼 좌표평면 위의 점 \(\mathrm P(x, y)\)를 \(x\)축 방향으로 \(a\), \(y\)축 방향으로 \(b\)만큼 평행이동한 점 \(\mathrm P'(x',y')\)라고 했을 때, 두 점의 좌표 사이에는 다음의 관계가 성립합니다.

\(\quad\)\(x'=x+a,y'=y+b\)

즉, 다음과 같이 변환이 표시됩니다.

\(\quad\)\(\mathrm T: (x,y)\longrightarrow (x+a,y+b)\quad \cdots (1)\)

좌표평면 위에 도형의 방정식 \(f(x,y)=0\)이 있을 때, (1)의 변환에 의해서 이동된 도형의 방정식은 \(f(x'-a,y'-b)=0\)으로 나타내어집니다.

그러나 이동 후에는 \(x',y'\)은 변수를 표현하는 것 외에는 이동(변환)과는 상관없기 때문에
\(x,y\)를 사용해서 \(f(x-a,y-b)=0\)라고 표시합니다.

점과 도형은 같은 변환을 사용합니다. 그러므로 도형의 이동에서 이동 후의 도형이 주어지면, 이 도형에 사용된 \(x,y\)는 \(x',y'\)으로 바꾸고 사용해야 합니다. 그래야만 변환의 관계식인 \(x'=x+a, y'=y+b\)을 이용할 수 있습니다.

이차항의 계수가 2인 이차함수 \(y=f(x)\)를 \(x\)-축, \(y\)-축 방향으로 모두 3만큼 평행이동 하였더니, \((2,3)\)을 지나고 함숫값이 0이 되는 \(x\)-값이 단 하나 존재합니다. \(y=f(x)\)의 꼭짓점의 좌표는?