대칭이동

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Main article: Reflection (mathematics)

대칭이동은 점(도형)을 정점이나 정직선에 대해 대칭인 점(도형)으로 옮겨지는 것을 말합니다. 여기서 점에 대한 대칭이동을 점대칭, 직선에 대한 대칭이동을 선대칭이라고 부르기도 합니다.
이동 전의 점 \(\mathrm P\)와 이동 후의 점 \(\mathrm P'\)에 대해서 대칭이동을 다음의 특징을 갖습니다.

• 점대칭에서는 선분 \(\mathrm{PP'}\)의 중점이 대칭점입니다.
• 선대칭에서는 선분 \(\mathrm{PP'}\)의 중점이 대칭직선 위에 있으며, 직선 \(\mathrm{PP'}\)의 기울기와 대칭직선은 서로 직교합니다. 이를 중점조건, 직교조건이라고 부릅니다.

점의 대칭이동

좌표평면 위의 점 \(\mathrm P(x,y)\)를 이동하여 점 \(\mathrm P'(x',y')\)으로 대칭이동하는 변환은 다음과 같습니다.

대칭이동	변환
\(x\) 축	\(\mathrm T: (x,y)\longrightarrow (x,-y)\)
\(y\) 축	\(\mathrm T: (x,y)\longrightarrow (-x,y)\)
원점	\(\mathrm T: (x,y)\longrightarrow (-x,-y)\)
직선 \(y=x\)	\(\mathrm T: (x,y)\longrightarrow (y,x)\)
직선 \(y=-x\)	\(\mathrm T: (x,y)\longrightarrow (-y,-x)\)

위의 표에서 \(x\) 축, \(y\) 축, 원점에 대해서는 대칭이동의 성질과 삼각형의 합동으로 쉽게 변환이 구해집니다. 

여기서는 \(y=x\)에 대한 변환을 구해보겠습니다. 점 \(\mathrm P(x,y)\)를 직선 \(y=x\)에 대하여 대칭이동한 점을 \(\mathrm P'(x',y')\)이라고 하면, 대칭이동의 성질에 따라 다음 식이 성립합니다.

\(\quad\)중점조건: \(\displaystyle\frac{y+y'}{2}=\frac{x+x'}{2}\quad\cdots(1)\)

\(\quad\)직교조건: \(\displaystyle\frac{y'-y}{x'-x}=-1\quad\cdots(2)\)

(1),(2)를 연립방정식으로 풀면, 다음과 같은 관계식을 얻을 수 있습니다.

\(\quad\)\(x'=y, y'=x\)

또한, \(y=-x\)에 대한 변환도 직교조건만 아래의 (3)식으로 바꾸어서 (1),(3)식의 연립방정식으로 구할 수 있습니다.

\(\quad\)직교조건: \(\displaystyle\frac{y'-y}{x'-x}=1\quad\cdots(3)\)

도형의 대칭이동

도형의 대칭이동에 대한 변환도 위에서 사용한 표를 그래도 사용합니다.

좌표평면 위의 도형의 방정식 \(f(x,y)=0\)은 각 대칭이동 변환에 따라 다음과 같이 표현합니다.

대칭이동	변환
\(x\) 축	\(f(x,-y)=0\)
\(y\) 축	\(f(-x,y)=0\)
원점	\(f(-x,-y)=0\)
직선 \(y=x\)	\(f(y,x)=0\)
직선 \(y=-x\)	\(f(-y,-x)=0\)

점에 대한 대칭이동

좌표평면 위의 점 \(\mathrm P(x,y)\)를 점 \(\mathrm A(a,b)\)에 대칭이동한 점을 \(\mathrm P'(x',y')\)라고 하면, 점대칭의 특징에 따라, 선분 \(\mathrm{PP'}\)의 중점이 점 \(\mathrm A\)가 됩니다. 즉, 다음이 성립합니다.

\(\quad\)\(\displaystyle\frac{x+x'}{2}=a, \frac{y+y'}{2}=b\)

이를 정리하면 다음과 같은 관계식을 얻을 수 있습니다.

\(\quad\)\(x'=2a-x,y'=2b-y\)

따라서 점 \(\mathrm A(a,b)\)에 대한 변환은 다음과 같습니다.

\(\quad\)\(T:(x,y)\longrightarrow (2a-x,2b-y)\)

또한, 도형의 방정식 \(f(x,y)=0\)은 점 \((a,b)\)에 대하여 대칭이동하여 도형의 방정식 \(f(2a-x,2b-y)=0\)으로 변환됩니다.

직선에 대한 대칭이동이지만, 점에 대한 대칭이동과 유사한 것이 있습니다. 
즉, \(x=a\)에 대칭이동 관계식은 다음과 같습니다.

\(\quad\)\(x'=2a-x, y'=y\)

\(y=b\)에 대칭이동 관계식은 다음과 같습니다.

\(\quad\)\(x'=x, y'=2b-y\)

직선에 대한 대칭이동

점의 대칭이동에서 직선 \(y=x\)에 대한 대칭이동의 변환을 구하는 방법에 대해 알아보았습니다. 여기서는 임의의 직선에 대한 대칭이동을 알아보겠습니다.
좌표평면 위의 점 \(\mathrm P(x,y)\)를 직선 \(y=ax+b\)에 대칭이동한 점을 \(\mathrm P'(x',y')\)라고 하면, 중점조건과 직교조건에 따라 다음이 성립합니다.

\(\quad\)중점조건: \(\displaystyle\frac{y+y'}{2}=a\cdot\frac{x+x'}{2}+b\)

\(\quad\)직교조건: \(\displaystyle\frac{y-y'}{x-x'}=-\frac{1}{a}\)

이 두식을 연립방정식으로 풀면, 다음의 결과를 얻을 수 있습니다.

\(\quad\)\(x'=\displaystyle\frac{1-a^2}{1+a^2}\cdot x +\frac{2a}{1+a^2}\cdot y-\frac{2ab}{1+a^2}\)

\(\quad\)\(y'=\displaystyle\frac{2a}{1+a^2}\cdot x +\frac{a^2-1}{1+a^2}\cdot y+\frac{2b}{1+a^2}\)

이런 복잡한 식을 암기할 필요는 없습니다. 문제가 주어지면, 중점조건, 직교조건을 적용하는 것만 알면 됩니다.

기울기가 \(a=1\)이면, 즉 \(y=x+b\)에 대한 대칭이동 관계식은 다음과 같습니다.

\(\quad\)\(x'=y-b, y'=x+b\)

이런 식은 기억하기가 쉽습니다. 왜냐하면 대칭이동의 기준이 되는 식이 바로 변환 관계식이기 때문입니다. 즉, \(y=x+b\)를 \(x=y-b\)로 고치고 보면, 두 변환 관계식과 같음을 볼 수 있습니다.

기울기가 \(a=-1\)이면, 즉 \(y=-x+b\)에 대한 대칭이동 관계식은 다음과 같습니다.

\(\quad\)\(x'=-y+b, y'=-x+b\)

이것도 동일합니다.

응용예제

응용문제1

두 점 \(A(6,3),\;B(2,4)\)와 \(x\)-축 위의 점 \(P(a,0)\), \(y\)-축 위의 점 \(Q(0,b)\)에 대하여, \(\overline{AP}+\overline{PQ}+\overline{AP}+\overline{QB}\)의 최솟값을 \(m\)이라 할 때, \(m^2+7a+4b\)의 값을 구하면? (단, \(a,\;b,\;m\)은 상수입니다.)

응용예제2

좌표평면 위에 두 정점 \(\mathrm P(6,0),\;\mathrm Q(0,2)\)가 있다. 길이가 \(2\sqrt{2}\)인 선분 \(\mathrm{RS}\)가 반직선 \(y=-x\;(x\geq -5)\)위에서 움직일 때, 사각형 \(\mathrm{PQRS}\)의 둘레의 길이의 최솟값을 구하시오.

응용예제3

두 점 \(\mathrm A(2,3), \mathrm B(4,2)\)와 직선 \(y=-x+1\) 위의 한 점 \(\mathrm P\)에 대하여 \(\triangle \mathrm{ABP}\)의 둘레의 길이의 최솟값을 구하시오.

응용예제4

그림과 같이 점 \(\mathrm O\)를 중심으로 45°를 이루는 두 직선 \(l_1,\;l_2\)와 중심이 점 \(\mathrm O\)이고, 반지름이 40인 원과의 교점을 \(\mathrm{A,B}\)라 놓습니다. 이때, 부채꼴 \(\mathrm{OAB}\)에 대하여 두 점 \(\mathrm{P,Q}\)가 각각 선분 \(\mathrm{OA}\), 선분 \(\mathrm{OB}\) 위를 움직이고, 점 \(\mathrm R\)은 호 \(\mathrm{AB}\) 위에 고정되어 있을 때, \(\overline{\mathrm{RP}}+\overline{\mathrm{PQ}}+\overline{\mathrm{QR}}\)의 최솟값은?

응용예제5

좌표평면 위에 두 정점 \(\mathrm{A}(0,2)\), \(\mathrm{B}(5,1)\)이 놓여 있습니다. 길이가 1인 선분 \(\mathrm{PQ}\)가 \(x\)-축 위에서 움직일 때, 사각형 \(\mathrm{APQB}\)의 둘레의 길이의 최솟값을 구하여라. 

응용예제6

그림과 같이 한 변의 길이가 \(15\sqrt{2}\)인 정사각형 \(\mathrm{ABCD}\) 모양의 종이가 있다. 선분 \(\mathrm{AB}\)와 선분 \(\mathrm{AD}\)를 \(2:1\)로 내분하는 점을 각각, \(\mathrm{E}\), \(\mathrm{F}\)라 하자.

선분 \(\mathrm{EC}\)를 접는 선으로 하여 삼각형 \(\mathrm{EBC}\)를 접었을 때, 점 \(\mathrm{B}\)가 옮겨지는 점을 \(\mathrm{B'}\), 선분 \(\mathrm{FC}\)를 접는 선으로 하여 삼각형 \(\mathrm{FDC}\)를 접었을 때, 점 \(\mathrm{D}\)가 옮겨지는 점을 \(\mathrm{D'}\)이라 하자. 점 \(\mathrm{B'}\)에서 선분 \(\mathrm{AE}\)에 내린 수선의 발을 \(\mathrm{G}\), 점 \(\mathrm{D'}\)에서 선분 \(\mathrm{AF}\)에 내린 수선의 발을 \(\mathrm{H}\), 선분 \(\mathrm{GH}\)의 중점을 \(\mathrm{M}\)이라 하자. 선분 \(\mathrm{GH}\)를 접는 선으로 하여 삼각형 \(\mathrm{AGH}\)를 접었을 때, 점 \(\mathrm{A}\)가 옮겨지는 점을 \(\mathrm{A'}\)이라 하자. 이때, \(\mathrm{MA'}+\mathrm{B'D'}\)의 값은?

응용예제7

좌표평면 위의 두 점 \(\mathrm{P}(5,2)\), \(\mathrm{Q}(3,4)\)와 \(\mathrm{PR}+\mathrm{RS}+\mathrm{SQ}\)의 값이 최소가 되는 \(x\)-축, \(y\)-축 위의 두 점 \(\mathrm{R}(a,0)\), \(\mathrm{S}(0,b)\)에 대하여 \(a+b\)의 값은?

응용예제8

그림과 같이 좌표평면 위에 두 점 \(\mathrm{A}(-12,0)\), \(\mathrm{B}(6,6)\)과 선분 \(\mathrm{AB}\) 위의 두 점 \(\mathrm{C}(-6,2)\), \(\mathrm{D}(3,5)\)가 있다. 선분 \(\mathrm{AO}\) 위의 점 \(\mathrm{E}\)와 선분 \(\mathrm{OB}\) 위의 점 \(\mathrm{F}\)에 대하여 \(\overline{\mathrm{CE}}+\overline{\mathrm{EF}}+\overline{\mathrm{FD}}\)의 값이 최소가 되도록 하는 점 \(\mathrm{E}\)의 \(x\)-좌표는? (단, \(\mathrm{O}\)는 원점)

응용예제9

좌표평면에 점 \(\mathrm{A}(2,0)\)와 원 \((x-2)^2+(y-3)^2=1\)위의 점 \(\mathrm{P}\)가 있다. \(y\)-축 위의 점 \(\mathrm{Q}\)에 대하여 \(\overline{\mathrm{AQ}}+\overline{\mathrm{QP}}\)의 최솟값을 \(a\), 그때 \(\overline{\mathrm{AQ}}:\overline{\mathrm{QP}}=m:n\)이라 하자. \(a+m+n\)의 값을 구하면, (단, \(m, n\)은 서로소인 자연수이다.)

응용예제10

그림과 같이 가로, 세로의 길이가 각각 4, 2인 직사각형 \(\mathrm{PQRS}\)에서 대각선 \(\mathrm{PR}\)가 선분 \(\mathrm{QQ'}\)을 수직이등분하도록 점 \(\mathrm{Q'}\)을 잡는다. 점 \(\mathrm{Q}\)를 원점으로 하고, 두 직선 \(\mathrm{QR}\), \(\mathrm{QP}\)가 각각 \(x\)-축, \(y\)-축 위에 오도록 직사각형 \(\mathrm{PQRS}\)를 좌표평면 위에 놓을 때, 직선 \(\mathrm{Q'S}\)의 기울기를 구하시오.

응용예제11

그림과 같이 좌표평면 위에 두 점 \(\mathrm{P}(12,0)\), \(\mathrm{Q}(0,5)\)가 있다. 길이가 \(5\sqrt{5}\)인 선분 \(\mathrm{RS}\)가 반직선 \(y=-x\;(x \ge -5)\) 위에서 움직일 때, 사각형 \(\mathrm{PQRS}\)의 둘레의 길이의 최솟값을 구하시오.

응용예제12

반지름의 길이가 10m인 원형의 수영장이 있다. 점 \(\mathrm{O}\)는 수영장의 중심이고, 두 점 \(\mathrm{P,Q}\)는 원 위의 점이며 \(\angle\mathrm{POQ}=60^{\mathrm o}\)이다. 갑과 을이 각각 \(\mathrm{P,Q}\)에서 동시에 출발하여 중심 \(\mathrm{O}\)를 향해 가고 있다. 호 \(\mathrm{PQ}\) 위의 한 점 \(\mathrm{C}\)에 대하여 선분 \(\mathrm{OP}\)와 선분 \(\mathrm{OQ}\) 위의 임의의 두 지점 \(\mathrm{A,B}\)에 갑과 을이 각각 도달하였을 때, \(\overline{\mathrm{AB}}+\overline{\mathrm{BC}}+\overline{\mathrm{CA}}\)의 최솟값을 구하시오.

응용예제13

\(x=a\)일 때, \(\sqrt{(x-1)^2+36}+\sqrt{x^2+16}\)의 최솟값이 \(b\)이다. \(5a+b^2\)의 값을 구하시오.

응용예제14

그림과 같이 좌표평면 위에 두 점 \(\mathrm{A}(-10,0)\), \(\mathrm{B}(10,10)\)과 선분 \(\mathrm{AB}\) 위의 두 점 \(\mathrm{C}(-8,1)\), \(\mathrm{D}(4,7)\)이 있다. 선분 \(\mathrm{AO}\) 위의 점 \(\mathrm{E}\)와 선분 \(\mathrm{OB}\) 위의 점 \(\mathrm{F}\)에 대하여 \(\overline{\mathrm{CE}}+\overline{\mathrm{EF}}+\overline{\mathrm{FD}}\)의 값이 최소가 되도록 하는 점 \(\mathrm{E}\)의 \(x\)-좌표는? (단, \(\mathrm{O}\)는 원점이다.)

응용예제15

점 \(\mathrm A(2,4)\)에서 나온 빛이 직선 \(y=x\)로 나타내어지는 거울의 점 \(\mathrm B(a,a)\)에서 반사된 후, 다시 \(y\)-축으로 나타내어지는 거울의 점 \(\mathrm C(0,b)\)에서 반사되어 점 \(\mathrm A\)로 되돌아올 때, \(12(a+b)\)의 값은? (단, 반사될 때, 입사각과 반사각의 크기는 같다.)

응용예제16

이차함수 \(y=x^2-2x-3\) 위의 두 점 \(\mathrm{P}(x_1,y_1)\)과 \(\mathrm{Q}(x_2,y_2)\)가 직선 \(y=x+1\)에 대하여 대칭일 때, \(x_1^2+x_2^2\)의 값을 구하여라.

응용예제17

이차함수 \(y=x^2+2x+2\) 위의 서로 다른 두 점 \(\mathrm{A,B}\)가 직선 \(y=x+4\)에 대하여 대칭일 때, 두 점 \(\mathrm{A,B}\) 사이의 거리를 구하여라.

응용예제18

그림과 같이 원점을 지나는 직선, \(x\)-절편이 −2인 직선의 방정식을 각각 \(f(x,y)=0\), \(g(x,y)=0\)이라 하자. 두 직선 \(l_1 : f(-x,y-1)=0\), \(l_2 : g(-y+1,x)=0\)에 대하여 다음 중 옮은 것은?

\(\quad\)(ㄱ) 두 직선 \(l_1,l_2\)의 교점은 \((-2,4)\)이다.

\(\quad\)(ㄴ) \(l_2\)는 제 4사분면을 지나지 않는다.

\(\quad\)(ㄷ) \(l_1\)은 \(f(x,y)=0\)을 \(y\)-축에 대하여 대칭이동한 후 \(y\)-축의 방향으로 −1만큼 평행이동하였다.

\(\quad\)(ㄹ) \(l_2\)는 \(g(x,y)=0\)을 \(x\)-축의 방향으로 −1만큼 평행이동한 후 \(y\)-축에 대하여 대칭이동하고 \(y=x\)에 대하여 대칭이동하였다.

\(\quad\)(ㅁ) 두 직선 \(l_1, l_2\)와 \(y\)-축으로 둘러싸인 도형의 넓이는 4이다.

응용예제19

실수 \(a, b\)에 대하여

\(\quad\)\(\sqrt{(a+1)^2+(b+1)^2}+\sqrt{(a-5)^2+4}+\sqrt{9+(b-3)^2}\)

의 최솟값을 구하시오.

응용예제20

실수 \(a, b\)에 대하여

\(\quad\)\(\sqrt{(a-2)^2+(b-2)^2}+\sqrt{(a-5)^2+4}+\sqrt{4+b^2}\)

의 최솟값을 구하시오.

응용예제21

실수 \(x, y\)에 대하여

\(\quad\)\(\sqrt{(x-2)^2+(y-2)^2}+\sqrt{(x-6)^2+3^2}+\sqrt{1^2+(y+1)^2}\)

의 최솟값을 구하시오.