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7월, 2025의 게시물 표시

Neko (software)

원문 보기: https://dawoum.duckdns.org/wiki/Neko_(software) Original article: w:Neko (software) Neko 는 크로 스-플랫폼 오픈-소스 애니메이션 커서-쫓는 고양이 스크린메이트 응용 프로그램입니다 . Neko ( 猫 , ねこ )는 고양이 에 대한 일본어 단어입니다. Introduction 모니터 화면의 크기가 커지면서, 자연스럽게 해상도가 증가하고, 이런 상황 아래에서 마우스의 위치를 한 번에 인식하지 못하는 경우가 생깁니다. 특히, 다른 일을 하다가 화면을 처음 바라보았을 때, 마우스를 흔들어서 위치를 확인하려고 시도하고 이것 마저 배경화면과 마우스 포인터의 색상에 비슷하면 포인터를 찾기에 시간 소모를 겪게 됩니다. 이를 보완하기 위해, 마우스를 돋보이도록 하는 방법이 필요하고, 그 중 하나가 Oneko입니다. Installation 아래 설명처럼, 데비안 저장소에는 oneko라는 이름으로 패키지가 존재합니다: sudo apt install oneko About Neko Neko는 원래 NEC PC-9801 에 대해 작성되었습니다. 그것은 나중에 1989년 Kenji Gotoh에 의해 Macintosh로의 데스크 액세서리 로 이 식 되었습니다. 그는 역시 Neko에 대한 수면 그래픽을 디자인했습니다. X 버전은 나중에 Masayuki Koba에 의해 만들어졌습니다 이 응용 프로그램에서, 스프라이트 는 마우스 포인터를 따라다닙니다. System 7 버전에서, 포인터는 마우스, 물고기, 또는 새와 같은 다양한 고양이 장난감으로 수정될 수 있습니다. Neko가 포인터를 따라잡았을 때, 몇 초 동안 화면을 응시하고, 몸에 가려운 곳을 긁고, 하품하고, 포인터가 방해받을 때까지 잠이 들 것입니다. 창 모드에서, Neko는 창 경계에서 멈추고 창 가장자리를 긁었습니다. Other appearances Neko 고양이는 다른 많은 프로그램에서 스프라이트로 사용되어 왔습니다. ...

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부등식의 영역에서의 최대 최소

원문 보기: https://dawoum.duckdns.org/wiki/부등식의_영역에서의_최대_최소 일차부등식 에서 \(x\) 변수와 \(y\) 변수의 영역이 각각 주어졌을 때, 이들 사이의 사칙연산에 대해 알아보았습니다. 만약 이것을 좌표평면 위에 부등식의 영역으로 표시했을 때에는 어떻게 구할 수 있을까요? 예를 들어, \(1\leq x\leq 4, 2\leq y\leq 4\)의 영역에서 \(x+y\)의 최댓값은 다음과 같이 구할 수 있습니다. 구하려는 값을 \(x+y=k\)라고 둡니다. \(y=-x+k\)로 일차함수로 바꿉니다. 부등식의 영역을 좌표평면 위에 표시합니다. 부등식의 영역을 지나면서 \(y\)절편의 영역을 표시합니다. \(y\)절편의 최댓값을 구합니다. 오른쪽 그림에서처럼 부등식의 영역을 지나는 직선의 \(y\)절편은 \(3\leq k \leq 8\)의 사이를 움직입니다. 그러므로 최솟값은 3, 최댓값은 8입니다. 여기서는 \(x,y\)에 대한 각각의 영역이 주어진 경우입니다. \(x,y\) 변수가 부등식으로 각각 주어지면 직사각형 모양의 부등식의 영역이 만들어집니다. 만약, 연립부등식의 영역 으로 주어지면, 먼저 부등식을 만족시키는 점 \((x,y)\)의 영역을 좌표평면 위에 표시를 해야 합니다. 그 이후에 \(f(x,y)=k\)로 두고, 이 도형이 부등식의 영역을 지날 때에 \(k\)의 값을 범위를 기하학적으로 구할 수 있습니다. 자주 사용되는 \(\mathbf{ f(x,y)=k}\)의 꼴은 다음과 같은 것이 있습니다. \(x+y=k\) \(\Rightarrow y=-x+k\)의 \(y\)절편 \(y-x^2=k\) ...

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부등식의 영역 - 일반꼴

원문 보기: https://dawoum.duckdns.org/wiki/부등식의_영역_-_일반꼴 함수꼴 로 주어지지 않은 것들은 전부 일반꼴로 보겠습니다. 물론 함수꼴도 일반꼴의 일부입니다. 대표적인 모양은 다음과 같습니다. \(\quad\)\(f(x,y)>0\) 이 경우에도 \(f(x,y)=0\)의 모양을 좌표평면에 그려야 합니다. 만약 \(f(x,y)\)의 모양이 일차함수, 이차함수, 원 등의 기존에 알고 있는 모양이 아닐 때에는 인수분해를 수행해야 합니다. 인수분해를 했을 때, 그 결과가 알고 있는 모양이어야 하는데, 왜냐하면, 경계선을 표시하지 못하면, 부등식의 영역을 표시할 수 없기 때문입니다. 원 예를 들어 \(x^2+y^2<4\)를 만족하는 부등식의 영역을 표시해 보겠습니다. 먼저 \(x^2+y^2=4\)는 중심이 \((0,0)\), 반지름이 2인 원을 좌표평면 위에 도시를 합니다. 등호가 없으므로 경계선 제외 라고 표시를 합시다. 원주 위에 있지 않은 점 \((0,0)\)을 대입하니, 부등식을 만족합니다. 원점을 포함하는 원의 안쪽에 빗금을 칠합니다. 원의 방정식은 중심의 좌표를 대입해서 진리값을 판정합니다. 계산이 가장 쉽기 때문입니다. 응용문제 응용예제1 원 \(x^2+y^2=1\)의 내부의 점 \(P(m,n)\)와 포물선 \(\displaystyle y=\frac{1}{4}x^2+1\) 위를 움직이는 점 \(Q(a,b)\)에 대하여 \(bm-an=0\)이 성립합니다. 점 \(P(m,n)\)가 존재하는 영역의 넓이를 구하시오. 응용예제2 직선 \(x+ay-a+2=0\)이 두 점 \((2,3)\), \((-3,4)\) 사이를 지나도록 하는 정수 \(a\)의 개수를 구하시오. ...

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부등식의 영역

원문 보기: https://dawoum.duckdns.org/wiki/부등식의_영역 일차부등식 , 이차부등식 의 해집합을 수직선에 표시하는 방법을 이전 과정에서 배웠습니다. 이 과정은 다음과 같습니다. 부등호 대신에 등호를 사용해서 방정식의 해(기준점)를 구하고, 수직선 위에 표시합니다. 등호가 있을 때에는 경계점을 검게 칠한 조그만 원으로, 등호가 없으면 빈 원으로 둡니다. 방정식의 해를 경계로 부등식을 만족하는 방향으로 화살표를 표시합니다. 일차부등식에서는 화살표가 해집합이 1개이므로 화살표를 한 번만 표시하면 됩니다. 예를 들어, x > 3 의 해집합은 x = 3 을 기준으로 오른쪽과 왼쪽으로 나누어집니다. 오른쪽에 있는 숫자 4를 대입하면 부등식을 만족하므로 기준점인 3에서 화살표를 오른쪽으로 표시를 합니다. 반면에 숫자 2는 부등식을 만족하지 않기 때문에 2가 있는 방향 쪽으로는 화살표를 표시해서는 안됩니다. 또한 이차부등식의 해집합이 x < 1 또는 x > 3 로 표시될 때에는 수직선이 3영역으로 나누어집니다. 숫자 0을 대입하면 만족하므로, 가까운 1을 기준으로 화살표를 표시합니다. 숫자 2를 대입하면 부등식을 만족하지 않고, 숫자 4는 부등식을 만족하므로 3을 기준으로 4방향으로 화살표를 표시합니다. 여기서는 좌표평면 위에서 부등식에 대한 해집합을 표현하는 것을 알아보고자 합니다. 변수가 2개로 늘어나더라도 같은 방법을 이용해서 부등식의 영역을 표시합니다. 즉, 다음과 같은 방법으로 영역을 표시합니다. 부등호 대신에 등호를 사용해서 좌표평면 위에 해집합을 표시합니다. 등호가 있으면 해집합(경계선)을 실선으로, 등호가 없으면 점선으로 표시합니다. 방정식의 해를 경계로 부등식을 만족하는 방향으로 빗금을 칠합니다. 이 해집합이 직선, 이차함수, 원 등의 이미 알고 있는 것들로 주어집니다. 부등식의 영역 은 이 자취(해집합의 표시)를 경계로 좌표평면이 나누어졌을 때, 해당 영역이 참이 되면 빗금을 칠하고 그렇지 ...

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대칭이동

원문 보기: https://dawoum.duckdns.org/wiki/대칭이동 Main article: Reflection (mathematics) 대칭이동 은 점(도형)을 정점이나 정직선에 대해 대칭인 점(도형)으로 옮겨지는 것을 말합니다. 여기서 점에 대한 대칭이동을 점대칭, 직선에 대한 대칭이동을 선대칭이라고 부르기도 합니다. 이동 전의 점 \(\mathrm P\)와 이동 후의 점 \(\mathrm P'\)에 대해서 대칭이동을 다음의 특징을 갖습니다. 점대칭에서는 선분 \(\mathrm{PP'}\)의 중점이 대칭점입니다. 선대칭에서는 선분 \(\mathrm{PP'}\)의 중점이 대칭직선 위에 있으며, 직선 \(\mathrm{PP'}\)의 기울기와 대칭직선은 서로 직교합니다. 이를 중점조건, 직교조건이라고 부릅니다. 점의 대칭이동 좌표평면 위의 점 \(\mathrm P(x,y)\)를 이동하여 점 \(\mathrm P'(x',y')\)으로 대칭이동하는 변환은 다음과 같습니다. 대칭이동 변환 \(x\) 축 \(\mathrm T: (x,y)\longrightarrow (x,-y)\) \(y\) 축 \(\mathrm T: (x,y)\longrightarrow (-x,y)\) 원점 \(\mathrm T: (x,y)\longrightarrow (-x,-y)\) 직선 \(y=x\) \(\mathrm T: (x,y)\longrightarrow (y,x)\) 직선 \(y=-x\) \(\mathrm T: (x,y)\longrightarrow (-y,-x)\) 위의 표에서 \(x\) 축, \(y\) 축, 원점에 대해서는 대칭이동의 성질과 삼각형의...

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평행이동

원문 보기: https://dawoum.duckdns.org/wiki/평행이동 Main article: Translation (geometry) 평행이동 은 점이나 도형을 회전 없이 일정한 방향으로 평행하게 옮기는 것을 말합니다. 이런 효과를 나타내기 위해서 좌표축을 평행이동시킬 수도 있지만, 여기서는 다루지 않습니다. 점의 평행이동 오른쪽 그림처럼 좌표평면 위의 점 \(\mathrm P(x, y)\)를 \(x\)축 방향으로 \(a\), \(y\)축 방향으로 \(b\)만큼 평행이동한 점 \(\mathrm P'(x',y')\)라고 했을 때, 두 점의 좌표 사이에는 다음의 관계가 성립합니다. \(\quad\)\(x'=x+a,y'=y+b\) 즉, 다음과 같이 변환 이 표시됩니다. \(\quad\)\(\mathrm T: (x,y)\longrightarrow (x+a,y+b)\quad \cdots (1)\) 도형의 평행이동 좌표평면 위에 도형의 방정식 \(f(x,y)=0\)이 있을 때, (1)의 변환에 의해서 이동된 도형의 방정식은 \(f(x'-a,y'-b)=0\)으로 나타내어집니다. 그러나 이동 후에는 \(x',y'\)은 변수를 표현하는 것 외에는 이동(변환)과는 상관없기 때문에 \(x,y\)를 사용해서 \(f(x-a,y-b)=0\)라고 표시합니다. 점과 도형은 같은 변환을 사용합니다. 그러므로 도형의 이동에서 이동 후 의 도형이 주어지면, 이 도형에 사용된 \(x,y\) 는 \(x',y'\) 으로 바꾸고 사용해야 합니다. 그래야만 변환의 관계식인 \(x'=x+a, y'=y+b\) 을 이용할 수 있습니다. 응용예제 응용예제1 이차항의 계수가 2인 이차함수 \(y=f(x)\)를 \(x\)-축, \(y\)-축 방향으로 모두 3만큼 평행이동 하였더니, \((2,3)\)을 지나고 함숫값이 0이 되는 \(x\)-값이 단 하나 존재합니다. \(y=f(x)\)의 꼭짓점의 ...

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도형의 이동

원문 보기: https://dawoum.duckdns.org/wiki/도형의_이동 도형의 이동은 변환 에 해당됩니다. 여기서는 변환의 가장 기초적인 평행 이동 과 대칭 이동 에 대해 알아보고자 합니다. 이동을 한다는 것은 이동 전 과 이동 후 가 있습니다. 여기서는 이동 전이 주어졌을 때, 이동 후의 결과가 어떻게 표현되는지에 대해 알아볼 것입니다. 대부분 교과서에서는 이것만 논의하기 때문에, 반대인 경우를 몇 번 정도는 생각해 보시기 바랍니다. 즉, 이동 후의 결과가 주어지고 이동 전의 값이나 상태를 물어볼 때(역과정)에는 수식의 어느 부분에 대입을 해야 하는지 항상 주의가 필요합니다. 좌표평면 위의 점 \(\mathrm P(x,y)\)가 이동(변환)해서 점 \(\mathrm P'(x',y')\)에 이르면 다음과 같이 표시합니다. \(\quad\)\(\mathrm T: (x,y)\longrightarrow (x',y')\) 평행이동 대칭이동

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원의 접선의 방정식

원문 보기: https://dawoum.duckdns.org/wiki/원의_접선의_방정식 Main article: Tangent lines to circles 원과 직선의 위치 관계 에서 소개한 원과 직선의 교점이 1개인 경우에 대해, 그 직선은 접하는 직선 , 또는 간단히 접선 으로 불립니다. 이때, 주어진 상황에 따라 접선을 구하는 방법이 조금 다를 수 있습니다. 접선을 구하는 과정은, 원과 직선의 위치 관계 에서 소개한 것처럼, 두 도형의 방정식에 대한 연립방정식을 푸는 것으로써, 결과로 제공되는 이차방정식이 중근을 갖는, 즉 그의 판별식 \(D=0\)이라는 조건을 이용합니다. 또 다른 방법은 기하학적으로 접근하는데, \(d=r\) 의 조건으로부터 계산될 수 있습니다. 비록 항상 그런 것은 아닐지라도, 계산의 편의를 위해, 대체로 기하학적 방법을 이용합니다. 기울기가 주어진 경우 중심이 원점 기울기가 \(m\)이고 원 \(x^2+y^2=r^2\)에 접하는 접선의 방정식을 구합니다. 먼저 직선의 방정식을 \(y=mx+n\)으로 놓고 원의 방정식에 대입합니다. 여기서 교점이 1개이므로 판별식 D=0을 만족하는 \(n\)을 구할 수 있습니다. \(\quad\)\(x^2+(mx+n)^2=r^2\) \(\quad\)\((m^2+1)x^2+2mnx+n^2-r^2=0\) \(\quad\)\(\displaystyle \frac{D}{4}=(mn)^2-(m^2+1)(n^2-r^2)=0\) \(\quad\)\(n^2=r^2(m^2+1)\) \(\quad\)\(\therefore n=\pm r\sqrt{m^2+1}\) 따라서 구하는 접선의 방정식은 다음과 같습니다. \(\quad\)\(\therefore y=mx\pm r\sqrt{m^2+1}\) 중심이 임의의 점 이를 확장해서 중심의 좌표가 \(C(a,b)\)인 접...

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원과 직선의 위치 관계

원문 보기: https://dawoum.duckdns.org/wiki/원과_직선의_위치_관계 두 도형의 위치 관계에 따라 원과 직선의 위치 관계도 해석할 수 있습니다. 원과 직선의 위치 관계는 세 가지 경우가 있습니다. 교점 2개(빨간 직선) 교점 1개(파란 직선) 교점이 없는 경우(초록색 직선) 원과 직선의 방정식을 각각 다음과 같이 놓습니다. \(\quad\)\(x^2+y^2=r^2\quad\cdots(1)\) \(\quad\)\(y=mx+n\quad\cdots(2)\) 위치 관계는 식 (1),(2)의 연립방정식의 실근의 개수와 같으므로 다음과 같은 식을 만듭니다. \(\quad\)\(x^2+(mx+n)^2=r^2\) \(\quad\)\((m^2+1)x^2+2mnx+n^2-r^2=0\;\{\alpha,\beta\}\quad\cdots(3)\) 이때, 방정식 (3)의 실근은 원과 직선의 교점의 \(x\)좌표를 나타냅니다. 그러므로, (3)의 판별식 \(D\) 에 따라 위치 관계가 결정됩니다. 판별식 근의 종류 교점 개수 \(D > 0\) 서로 다른 두 실근 교점 2개 \(D = 0\) 서로 같은 두 실근 교점 1개 \(D < 0\) 서로 다른 두 허근 교점 0개 특별히 D = 0 인 경우에 원과 직선은 접한다 라고 말하고, 이 직선을 접선 이라고 부릅니다. 원의 접선의 방정식 을 참조하십시오. 기하학적 접근 원과 직선의 위치 관계 는 두 도형의 위치 관계를 하나의 예제이므로, 두 도형의 연립방정식의 실근의 개수에 따라 위치 관계를 판단할 수 있습니다. 원은 중심으로부터 같은 거리(반지름)에 점, 즉 윈주로 구성됩니다. 그러므로 원의 중심에서 직선까지의 (최단)거리 를 반지름과 비교해서 원과 직선의 위치 관계를 알 수 있습니다. 그림처럼, 위치 관계는 다음과 같이 3가지로 나뉩니다. \(d_1...

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아폴로니우스의 원

원문 보기: https://dawoum.duckdns.org/wiki/아폴로니우스의_원 See also: Circles of Apollonius and Circle § Circle_of_Apollonius 두 정점 \(\mathrm{A,B}\)로부터 거리의 비가 \(m:n\) (일정)인 점 \(\mathrm P\)의 자취는 선분 \(\mathrm{AB}\)를 \(m:n\)으로 내분, 외분하는 점을 지름의 양끝으로 하는 원입니다. (단, \(m\neq n\)) 증명1 \(\mathrm{M,N,P}\)은 모두 \(\mathrm{A,B}\) 를 \(m:n\) 으로 나누는 점이지만, 증명을 위해 \(\mathrm{M,N}\) 은 특이점으로, \(\mathrm P\) 는 그 외의 임의의 점으로 선택합니다. 즉, 지름의 양 끝점과 원주 위의 다른 한 점을 연결하면, 중심각이 180°이기 때문에 원주각이 90°라는 사실을 역으로 이용하여, 원주각이 90°인 것을 보임으로써, 당연히 중심각은 180°가 되고, 이로써 세 점은 원을 형성한다는 것을 보이는 것입니다. 또한, 이를 위해 삼각형에서 선분의 길이비가 특별한 경우에 내각과 외각을 이등분한다는 사실을 이용합니다. 선분 \(\mathrm{AB}\)를 \(m:n\)으로 내분, 외분하는 점을 각각 \(\mathrm{M,N}\)이라고 하면, \(\mathrm{M,N}\)은 한직선 위에 있고, 원주 위에 존재합니다. 먼저, \(\mathrm{M,N}\)이 아니면서 조건을 만족하는 임의의 점을 \(\mathrm{P}\)라고 하면, 다음을 만족합니다. \(\quad\)\(\mathrm {PA : PB}=m:n\) \(\quad\)\(\mathrm {MA : MB}=m:n\) \(\quad\)\(...

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두 도형의 교점을 지나는 방정식

원문 보기: https://dawoum.duckdns.org/wiki/두_도형의_교점을_지나는_방정식 평면도형에서 그릴 수 있는 도형은 직선, 원, 이차곡선 (포물선-이차함수, 타원, 쌍곡선) 등이 있습니다. 여기서 두 도형의 교점을 지나는 새로운 방정식을 구하고 싶을 때에는 어떤 방법이 있을까요? 먼저, 각 도형의 방정식 편에서 지나가는 점이 주어졌을 때, 표준형이나 일반형에 대입해서, 해당 도형의 방정식을 구하는 방법이 소개되어 있습니다. 그러기 위해서는 교점을 구해야 하는데, 고등학교 교과과정에서는 오직 실수축을 다루기 때문에 , 교점을 구하는 것은 연립방정식의 실근을 구하는 것 과 같습니다. 만약 교점이 무리수가 나오게 되면, 대입해서 계수를 구하는 것이 쉬운 일은 아닙니다. 반면에 항등식 의 개념을 이용해서 두 도형의 교점을 지나는 방정식을 만들 수 있습니다. 먼저 두 도형을 반드시 일반형 으로 만듭니다. \(\quad\)\(\left\{\begin{align} f(x,y)=0 & &\cdots(1) \\ g(x,y)=0 & &\cdots(2) \end{align}\right.\) 두 도형의 교점을 지나는 방정식은 다음의 2가지로 만들 수 있습니다. \(f(x,y)+k \cdot g(x,y)=0\) \(g(x,y)+h \cdot f(x,y)=0\) 여기서, \(k, h\)는 실수입니다. 위의 두 식은 임의의 실수 \(k,h\)에 대한 항등식으로 해석할 수 있으므로, 처음에 주어진 두 도형의 방정식의 일반형의 연립방정식과 동등한 결과를 낳습니다. 즉, \(k,h\)의 값에 따라 도형이 결정되므로, 오직 \(k,h\)의 값을 구하면, 두 도형의 교점을 지나는 방정식을 구할 수 있습니다. 이런 접근의 장점은 교점을 구할 필요가 없는 것은 물론이고, 이후에 발생하는 계수 사이의...

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